Operator statistic

Operatorul statistic, numit și operator densitate sau matrice densitate, este instrumentul matematic al mecanicii statistice cuantice. El reunește într-o tratare unitară o dublă statistică: descrierea statistică a stărilor microscopice ale unui sistem (proprie mecanicii cuantice) și statistica rezultată din cunoașterea incompletă a acestor stări (existentă și în mecanica statistică clasică).

Conform mecanicii cuantice, starea dinamică a unui sistem atomic este descrisă de funcția de stare. Această descriere are caracter statistic: funcția de stare se referă la un colectiv statistic alcătuit dintr-un număr mare de exemplare identice ale sistemului, care evoluează în timp conform ecuației lui Schrödinger, pornind de la o anumită stare inițială. Starea inițială a colectivului statistic este „preparată” prin indicarea precisă a valorilor unui număr de observabile compatibile – mărimi fizice reprezentate prin operatori care comută, doi câte doi. Dacă acest sistem de observabile este complet, funcția de stare este unic determinată.

Dacă însă starea inițială a sistemului nu este complet determinată (cum se întâmplă în cazul operatorilor cu valori proprii degenerate), există mai multe funcții de stare compatibile. În acest caz este necesară o tratare statistică analoagă celei din mecanica statistică clasică: trebuie luate în considerare toate stările inițiale posibile, atașând fiecăreia o probabilitate, care se determină prin măsurări repetate asupra sistemului incomplet de observabile utilizat.

DefinițieModificare

În cazul general când informația este incompletă, sistemul se poate afla în oricare dintre stările descrise de   funcții de stare normate

 

și probabilitățile asociate lor

 

Considerând modul în care se compun probabilitățile în această dublă statistică, valoarea medie a unei observabile reprezentate de operatorul hermitic   pe colectivul statistic astfel definit este

 

Introducând în spațiul Hilbert o bază ortonormată oarecare   funcțiile de stare   vor fi reprezentate prin coeficienții dezvoltării

 

iar operatorul   prin elementele de matrice

 

Cu aceste notații, valoarea medie   devine

 

unde

 

Matricea de elemente   care sintetizează informația (stări posibile și probabilități) asupra colectivului statistic considerat, rezultată dintr-o măsurare simultană (în cazul general incompletă), se numește matricea densitate. Ea este reprezentarea, în baza ortonormată aleasă în spațiul Hilbert, a unui operator   numit operatorul densitate sau operatorul statistic. În notație operatorială, expresia pentru valoarea medie este

 

unde simbolul   denotă urma operatorului pe care îl precede.

ProprietățiModificare

Din definiția precedentă rezultă câteva proprietăți importante ale operatorului statistic: [1]

  • Operatorul statistic este hermitic:
 
deci valorile sale proprii sunt numere reale.
  • Urma operatorului statistic este egală cu 1:
 
  • Valorile proprii ale operatorului statistic nu pot fi mai mici decât 0 sau mai mari decât 1:
 

Colectiv statistic purModificare

Dacă starea sistemului e determinată de o singură funcție   cu probabilitate asociată p = 1, rezultă din discuția precedentă că funcția de stare e funcție proprie a operatorului statistic, corespunzătoare valorii proprii 1, celelalte valori proprii fiind 0:

 

În baza care diagonalizează matricea densitate, aceasta va avea forma

 

În această situație particulară se vorbește despre un colectiv statistic pur, în care, conform unui principiu general al mecanicii cuantice, statistica observabilelor este complet determinată de funcția de stare.

Colectiv statistic mixtModificare

Cazul general este cel al unui colectiv statistic mixt, în care operatorul statistic are mai multe valori proprii diferite de zero. În baza de vectori proprii, matricea densitate este diagonală și poate fi descompusă în forma

 

Cazul mixt poate fi deci considerat ca un amestec de cazuri pure, cu ponderi statistice   Se poate arăta că un caz pur nu poate fi considerat, la rândul său, ca un amestec de cazuri cu statistică mai simplă. [2] Concluzia este că statistica din cazul pur nu poate fi atribuită unei cunoașteri incomplete a sistemului atomic considerat: operatorul statistic având o unică valoare proprie egală cu 1, respectiv funcția proprie corespunzătoare acestei valori proprii, reprezintă informația maximă despre starea sistemului, în contextul mecanicii cuantice.

Operatorul statistic își dovedește utilitatea mai ales în cazul sistemelor compuse dintr-un număr mare de particule, de exemplu când se cercetează proprietățile corpurilor macroscopice pe baza structurii lor atomice; dar el este folosit și în sisteme cu un număr mai redus de componente, atunci când condițiile experimentale nu înlesnesc înregistrarea de informații complete. [3]

Evoluția în timp a operatorului statisticModificare

Considerentele precedente se referă la starea unui sistem atomic la un anumit moment, însă această stare evoluează în timp. În cazul pur, evoluția temporală a funcției de stare se face conform ecuației lui Schrödinger. Utilizând coeficienții funcției de stare, respectiv elementele de matrice ale hamiltonianului, într-o bază ortonormată oarecare, se obține ecuația corespunzătoare pentru matricea densitate, care în formă operatorială este [4]

 

Întrucât operatorul statistic pentru un amestec este o combinație liniară de operatori statistici pentru cazuri pure, această ecuație rămâne valabilă și în cazul mixt.

Statistică clasică și statistică cuanticăModificare

Se vede că operatorul statistic în spațiul Hilbert joacă, în mecanica statistică cuantică, un rol similar cu densitatea de probabilitate în spațiul fazelor din mecanica statistică clasică (de unde și denumirea alternativă de operator sau matrice densitate). Tabelul de mai jos, care rezumă paralelismul dintre cele două teorii, este totodată o exemplificare a principiului de corespondență[5]

Statistică clasică Statistică cuantică
Densitatea de probabilitate   în spațiul fazelor Operatorul statistic   în spațiul Hilbert
Condiția de normare
 
Condiția de normare
 
Valoarea medie a mărimii  
 
Valoarea medie a observabilei  
 
Distribuția canonică la temperatura  
 
Funcția de partiție
 
  este hamiltonianul iar  
Distribuția canonică la temperatura  
 
Funcția de partiție
 
  este operatorul hamiltonian iar  
Expresia generală a entropiei
 
Expresia generală a entropiei
 

NoteModificare

  1. ^ Țițeica, p. 416.
  2. ^ Țițeica, p. 419.
  3. ^ Țițeica, p. 421.
  4. ^ Țițeica, p. 420.
  5. ^ Messiah, pp. 285–286.

BibliografieModificare

  • Landau, L.D. și Lifshitz, E.M.: Statistical Physics, Pergamon Press, Oxford, 1980, pp. 14–20. ISBN 0-08-023038-5.
  • Landau, L.D. și Lifshitz, E.M.: Quantum mechanics: non-relativistic theory, Pergamon Press, Oxford, 1991, pp. 38–41. ISBN 0-08-029140-6
  • Messiah, Albert: Mécanique quantique, Dunod, Paris, 1962, Tome 1, pp. 279–286.
  • Țițeica, Șerban: Mecanica cuantică, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984, pp. 414–421.

Vezi șiModificare

Legături externeModificare