Regula de aur a acumulării

Regula de aur a acumulării a lui Edmund S. Phelps indică faptul că consumul pe cap de locuitor se maximizează atunci când rata dobânzii este egală cu rata de creștere a produsului intern brut. Regula de aur a acumulării este criticată pentru faptul că nu ia în considerare preferințele temporale (în mod diferit față de regula Ramsey).

Cu ajutorul regulii de aur, rata obținută a dobânzii ar putea fi utilizată ca „o rată reală constantă a dobânzii“ în cadrul regulii lui Taylor pentru determinarea ratei dobânzii a lui Taylor.

Rata de creștere Steady-State

Creșterea stocului de capital ${\dot {K}}$ este egală cu investițiile $I$, care sunt finanțate prin economisiri $S$:

${\dot {K}}=I=S$

Cota de economii $s={\frac {S}{Y}}={\frac {\dot {K}}{Y}}$

Funcția de consum: $C=(1-s)\cdot Y+N$

Intensitatea capitalului $k={\frac {K}{A}}$

Producția pe cap de locuitor: $y={\frac {Y}{A}}$

Funcția de producție: $Y=F(K,A)$

Funcția de producție linear-homogenă:

$const.\cdot Y=F(const.\cdot K,const.\cdot A)$

$const.={\frac {1}{A}}$
${\frac {1}{A}}\cdot Y=F({\frac {1}{A}}\cdot K,{\frac {1}{A}}\cdot A)$

deci, funcția de producție poate fi exprimată și prin mărimi pe cap de locuitor. Producția unui anumit muncitor depinde de resursele de capital ale acelui muncitor (intensitatea capitalului):

${\mbox{y = F(k,1)=f(k)}}$

Rata de creștere a populației/ocupației $A$ este dată exogen:

${{\dot {A}} \over A}={\hat {A}}=m$

Rata de creștere Steady-State, toate mărimile trebuie să crească cu aceeași rată:

${{\dot {Y}} \over Y}={{\dot {A}} \over A}={{\dot {K}} \over K}=m$

${{\dot {K}} \over K}={\hat {K}}=s\cdot {\frac {Y}{K}}=s\cdot {\frac {y}{k}}=m$

$s\cdot {\frac {y}{k}}=s\cdot {\frac {f(k)}{k}}=m$

$s\cdot f(k)=m\cdot k$

Maximizarea consumului pe cap de locuitor

Pentru ce rată de creștere Steady-State este maximizat consumul pe cap de locuitor ${\frac {C}{A}}$?

${\frac {C}{A}}=(1-s){\frac {Y}{A}}=(1-s)y=(1-s)f(k)$

În conformitate cu Steady State e valabil:

$s\cdot f(k)=m\cdot k$

Deci:

${\frac {C}{A}}=f(k)-m\cdot k$

Maximizarea consumului pe cap de locuitor în ceea ce privește variabila $k$, înseamnă derivarea în funcție de $k$ și egalarea cu zero:

$f^{\prime }(k)-m=0$

Regula de aur a acumulării

Productivitatea marginală a capitalului $f^{\prime }(k)$ trebuie deci să fie egală cu rata de creștere $m$. În teoria neoclasică se presupune că productivitatea marginală a capitalului este egală cu prețul investiției inițiale, deci egală cu rata profitului, respectiv cu rata dobânzii.

Calcul auxiliar al productivității marginale a capitalului

Productivitatea marginală a capitalului ca derivată parțială a lui $F(K,A)$ în funcție de $K$:

${\frac {\delta F(K,A)}{\delta K}}$

Omogenitate lineară:

$F(K,A)=A\cdot F({\frac {K}{A}},1)=A\cdot f(k)$

Calcul parțial (utilizând derivarea prin părți):

${\frac {\delta F({\frac {K}{A}},1)}{\delta K}}={\frac {\delta F({\frac {K}{A}},1)}{\delta {\frac {K}{A}}}}\cdot {\frac {\delta {\frac {K}{A}}}{\delta K}}$

$=f^{\prime }(k){1 \over A}$

În total:

${\frac {\delta F(K,A)}{\delta K}}=f^{\prime }(k)$