Serie hipergeometrică bilaterală

În matematică, o serie hipergeometrică bilaterală este o serie $\Sigma a_{n}\,\!$, în care sumarea se face peste toți întregii n, în așa fel încât raportul $a_{n}/a_{n+1}\,\!$ este o funcție rațională de n. Asemănător este definită seria hipergeometrică, exceptând faptul că, termenii care conțin întregii n negativi dispar. În consecință, seria bilaterală va avea un număr infinit de termeni diferiți de zero, indiferent dacă valorile lui n sunt pozitive sau negative.

Seria hipergeometrică bilaterală nu este convergentă pentru majoritatea funcțiilor raționale, deși ea poate fi prelungită analitic spre o funcție definită pentru majoritatea funcțiilor raționale. Există mai multe formule de sumare care dau valorile funcției pentru valori speciale ale ei, în cazul în care acestea nu converg.

Definiție

Seria hipergeometrică bilaterală ${}_{p}H_{p}\,\!$ este definită de:

${}_{p}H_{p}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{p};z)={}_{p}H_{p}\left({\begin{matrix}a_{1}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&\ldots &b_{p}\\\end{matrix}};z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{p})_{n}}}z^{n}$

unde

$(a)_{n}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,$

este simbolul lui Pochhammer.

În mod uzual variabila z este luată egală cu 1, caz în care este omisă din notație. De asemenea este posibil să definim o serie ${}_{p}H_{q}\,\!$ cu p diferit de q, dar aceasta nu va fi convergentă, sau va putea fi redusă la o serie hipergeometrică ordinară printr-o schimbare de variabilă.

Convergența și prelungirea analitică

Să presupunem că nici o variabilă a sau b nu are valoare întreagă, astfel că toți termenii seriei sunt finiți și diferiți de zero. Atunci termenii cu n < 0 sunt divergenți dacă |z| < 1, termenii n > 0 sunt divergenți dacă |z| > 1, iar seria nu va converge dacă nu avem |z| = 1. Când |z| = 1, seria converge dacă:

$\Re (b_{1}+\cdots b_{n}-a_{1}-\cdots -a_{n})>1.$

Seria hipergeometrică bilaterală poate fi prelungită analitic la o funcție meromorfă cu valori multiple de mai multe variabile, ale cărei singularități sunt punctele de ramificație z = 0 și z=1 și polii simpli din a_i = −1, −2,... și b_i = 0, 1, 2, ... Acest lucru poate fi făcut în felul următor: Să presupunem că nici o variabilă a sau b nu are valoare întreagă. Termenii cu n pozitiv converg pentru |z| < 1 către o funcție care satisface o ecuație liniară neomogenă cu singularități în z = 0 și z = 1, astfel că ea poate fi prelungită la o funcție cu valori multiple, având aceste puncte ca puncte de ramificație. Similar, termenii cu n negativ converg pentru |z| > 1 către o funcție care satisface o ecuație liniară neomogenă cu singularități la z = 0 și z = 1, astfel că ea poate fi prelungită la o funcție cu valori multiple, având aceste puncte ca puncte de ramificație. Suma acestor funcții duce la prelungirea analitică a seriei hipergeometrice bilaterale pentru toate valorile lui z diferite de 0 și 1, satisfăcând o ecuație diferențială liniară în z similară cu ecuația diferențială hipergeometrică.

Formule de sumare

Suma bilaterală a lui Dougall

Această sumă este definită prin relația:

$\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}(d)_{n}}}={\frac {\Gamma (d)\Gamma (e)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)}}$

Câteodată această formulă este scrisă sub forma echivalentă:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (b+n)}{\Gamma (c+n)\Gamma (d+n)}}={\frac {\pi ^{2}}{\sin(\pi a)\sin(\pi b)}}{\frac {\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (d-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-b)}}.$

Formula lui Bailey

Bailey a dat următoarea generalizare a formulei lui Dougall:

$\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}(f+1)_{n}}{(d)_{n}(e)_{n}(f)_{n}}}=\lambda {\frac {\Gamma (d)\Gamma (e)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (d+e-a-b-2)}{\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)}}$

unde

$\lambda ={\frac {(f-a)(f-b)-(1+f-d)(1+f-e)}{f}}.$

Bibliografie suplimentară

• en Slater, Lucy Joan (1966), Generalized hypergeometric functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09061-2, MR0201688 

Vezi și

• Seria hipergeometrică bilaterală fundamentală