Suprafață tangentă desfășurabilă

În geometria diferențială a suprafețelor^⁠(d) o suprafață tangentă desfășurabilă este un tip de suprafață desfășurabilă obținută dintr-o curbă în spațiu ca suprafața formată din tangentele la curbă. O astfel de suprafață este și anvelopa^⁠(d) planelor tangente la curbă.

Suprafața tangentă desfășurabilă a unei elice

Istoric

Suprafețele tangente desfășurabilă au fost studiate de Leonhard Euler în 1772.^[1] Până atunci, singurele suprafețe desfășurabile cunoscute erau conurile generalizate și cilindrii. Euler a arătat că suprafețele tangente desfășurabile sunt desfășurabile și că fiecare suprafață desfășurabilă este de unul dintre aceste tipuri.^[2]

Parametrizare

Fie $\gamma (t)$ o parametrizare a unei curbe în spațiu netede. Adică, $\gamma$ este o funcție derivabilă de două ori, care aplică argumentul său $t$ (un număr real) la un punct din spațiu; curba este imaginea lui $\gamma$ . Apoi, o suprafață bidimensională, tangentă desfășurabilă a lui $\gamma$ , poate fi parametrizată de funcția.^[3]

(s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).

Curba inițială formează o frontieră a suprafeței tangente desfășurabile și se numește directoare. Această curbă este obținută prin desfășurarea mai întâi a suprafeței în plan, și apoi luând în considerare imaginea dreptelor generatoare^⁠(d) de pe suprafață. Anvelopa acestei familii de drepte este o curbă plană. Intuitiv, este o curbă de-a lungul căreia suprafața trebuie să fie îndoită în timpul procesului de desfășurare în plan.

Proprietăți

Tangenta desfășurabilă a unei curbe cu torsiune zero

Tangenta desfășurabilă este o suprafață desfășurabilă, adică este o suprafață cu curbură gaussiană^⁠(d). Este unul dintre cele trei tipuri fundamentale de suprafețe desfășurabile, celelalte două fiind conurile generalizate (suprafața generată de o familie unidimensională de drepte care trec printr-un punct fix) și cilindrii (suprafețe generate de o familie unidimensională de drepte paralele). (planul este uneori considerat al patrulea tip, sau poate fi văzut ca un caz particular al oricăruia dintre aceste două tipuri.) Orice suprafață desfășurabilă din spațiul tridimensional poate fi formată prin lipirea împreună de piese din aceste trei tipuri. De aici rezultă că orice suprafață desfășurabilă este o suprafață riglată^⁠(d), o reuniune a unei familii de drepte.^[2] Însă nu orice suprafață riglată este desfășurabilă, un contraexemplu fiind elicoidul.

Tangenta desfășurabilă unei curbe care are un punct cu torsiune zero va avea o autointersectare.

Note

^ la Euler, L. (1772), „De solidis quorum superficiem in planum explicare licet”, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 16: 3–34
^ ^a ^b en Lawrence, Snežana (2011), „Developable surfaces: their history and application”, Nexus Network Journal, 13 (3): 701–714, doi:10.1007/s00004-011-0087-z 
^ en Pressley, Andrew (2010), Elementary Differential Geometry, Springer, p. 129, ISBN 1-84882-890-X

Bibliografie

en Struik, Dirk Jan (1961), Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley .
en Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (ed. 2nd), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
en Sabitov, I.Kh. (2001), „Developable surface”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
en Voitsekhovskii, M.I. (2001), „Edge of regression”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

Legături externe

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Tangent Developable la MathWorld.

[1] Euler, L. (1772), „De solidis quorum superficiem in planum explicare licet”, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 16: 3–34

[lawrence-2] Lawrence, Snežana (2011), „Developable surfaces: their history and application”, Nexus Network Journal, 13 (3): 701–714, doi:10.1007/s00004-011-0087-z 

[3] Pressley, Andrew (2010), Elementary Differential Geometry, Springer, p. 129, ISBN 1-84882-890-X

[1]

[2]

[3]