Teorema celor trei perpendiculare

În geometrie, teorema celor trei perpendiculare este o teoremă cu următorul enunț:

Condiția necesară și suficientă ca o dreaptă oblică d₁ la un plan să fie perpendiculară pe o dreaptă d₂ inclusă în plan și care intersectează dreapta oblică este ca dreapta d₂ să fie perpendiculară pe proiecția dreptei d₁ pe plan.

Similar, un alt enunț ar putea suna astfel:

Dacă A este un punct exterior unui plan α, AB este dreapta perpendiculară din acel punct pe plan, cu $B\in \alpha$, d o dreaptă inclusă în planul α care nu trece prin B și BC dreapta perpendiculară pe d, cu $C\in d$, atunci $AC\perp d$

Un rezultat din algebra liniară este o generalizare a acestei teoreme la spații Hilbert de dimensiuni arbitrare:

Fie H un spațiu Hilbert, x un vector din acesta, $L_{1}\hookrightarrow L_{2}\hookrightarrow H$ (subspații închise), și $x_{2}=P_{L_{2}}x$. Atunci $P_{L_{1}}x=P_{L_{1}}x_{2}$

Cu $P_{L_{1}}x$ s-a notat "proiecția lui x pe subspațiul L₁", iar relația $L_{1}\hookrightarrow L_{2}$ înseamnă "L₁ este un subspațiu al lui L₂".

Acest al treilea enunț se reduce la cel de-al doilea, dacă se consideră că H este spațiul tridimensional, x este punctul A, L₁ este dreapta d iar L₂ este planul α.