Problema monedei de cinci lei a lui Țițeica

(Redirecționat de la Teorema lui Țițeica)

Trei cercuri congruente se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obțin încă trei puncte de intersecție. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.

Demonstratie utilizand numere complexeModificare

Fie cercurile cu centrele   si raza  .Notam   punctele lor de intersectie si   punctul lor comun.Consideram un reper cartezian ce are centrul in  . Fie   afixele punctelor   in aceasta ordine. Avem  .De aici rezulta ca patrulaterul   este un romb,deci  . Analog obtinem ca   si  . Avem :

       
       
       
      

Din ultimele 3 relatii  .Acest lucru inseamna ca si cercurile lor circumscrise au razele egale. Dar avem ca   adica raza cercului circumscris triunghiului   este  . Din ultimele 2 randuri obtinem ca raza cercului circumscris   este  ,deci este congruent cu cercurile date.

BibliografieModificare

"Matematică, manual pentru clasa a X-a -TC+ CD"-Constantin Năstăsescu, Constantin Niță, Ion Chițescu, Dan Mihalca, Monica Dumitrescu.

Vezi șiModificare