Problema monedei de cinci lei a lui Țițeica

Trei cercuri congruente se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obțin încă trei puncte de intersecție. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.

Demonstratie utilizand numere complexe

Fie cercurile cu centrele $O_{1},O_{2},O_{3}$ si raza $r$.Notam $A,B,C$ punctele lor de intersectie si $O$ punctul lor comun.Consideram un reper cartezian ce are centrul in $O$. Fie $z_{1},z_{2},z_{3},z_{A},z_{B},z_{C},z_{O}$ afixele punctelor $O_{1},O_{2},O_{3},A,B,C,O$ in aceasta ordine. Avem $O_{2}A=O_{3}A=O_{3}O=OO_{2}=r$.De aici rezulta ca patrulaterul $O_{3}AO_{2}O$ este un romb,deci $z_{O}+z_{A}=z_{2}+z_{3}<=>z_{A}=z_{2}+z_{3}$. Analog obtinem ca $z_{B}=z_{1}+z_{3}$ si $z_{C}=z_{1}+z_{2}$. Avem  :

      $AB=|z_{A}-z_{B}|=|z_{2}-z_{1}|=O_{1}O_{2}$
      $BC=|z_{B}-z_{C}|=|z_{3}-z_{2}|=O_{2}O_{3}$
      $AC=|z_{A}-z_{C}|=|z_{3}-z_{1}|=O_{1}O_{3}$
      

Din ultimele 3 relatii $\triangle ABC\equiv \triangle O_{1}O_{2}O_{3}$.Acest lucru inseamna ca si cercurile lor circumscrise au razele egale. Dar avem ca $OO_{1}=OO_{2}=OO_{3}=r$ adica raza cercului circumscris triunghiului $\triangle O_{1}O_{2}O_{3}$ este $r$. Din ultimele 2 randuri obtinem ca raza cercului circumscris $\triangle ABC$ este $r$,deci este congruent cu cercurile date.

Bibliografie

"Matematică, manual pentru clasa a X-a -TC+ CD"-Constantin Năstăsescu, Constantin Niță, Ion Chițescu, Dan Mihalca, Monica Dumitrescu.

Vezi și

• Listă de probleme de geometrie