Teorema lui Cantor

Nu confundați cu Teorema Cantor-Bernstein.

Teorema lui Cantor este o teoremă matematică privind teoria mulțimilor.

Enunț

Fie A o mulțime nevidă și ${\mathfrak {P}}(A)$ mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci cardinalul lui A este strict mai mic decât cardinalul lui ${\mathfrak {P}}(A)$

Demonstrație

Fie funcția oarecare care pune în corespondență o mulțime A cu mulțimea submulțimilor P(A) a acestei mulțimi A:

f: A → ${\mathfrak {P}}(A)$

Demonstrarea acestei teoreme este echivalentă cu a demonstra enunțul: f nu poate fi surjectivă. Pentru aceasta e suficient a determina o submulțime a lui A care să nu fie imaginea lui f.

Considerăm mulțimea

$B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\}.$

Pentru a arăta că B nu este imaginea lui f, să presupunem prin absurd că B este imaginea lui f. Atunci pentru un $x\in A$ avem $f(x)=B$. Avem cazurile:

• $x\in B$ :

atunci $x\not \in f(x)$ deci $x\not \in B$

• $x\not \in B$

atunci $x\in f(x)$ deci $x\in B$

În ambele cazuri se obține o contradicție. Aceasta dovedește că B nu este imaginea lui f, deci f nu este surjectivă.

Deci mulțimile A și ${\mathfrak {P}}(A)$ nu sunt echipotente.

Bibliografie

• en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
• en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

Vezi și

• Mulțime
• Cardinal (matematică)

Legături externe

• en Teorema lui Cantor la MathWorld^{[nefuncțională]}