Teorema lui Cantor

Nu confundați cu Teorema Cantor-Bernstein.

Teorema lui Cantor este o teoremă matematică privind teoria mulțimilor.

EnunțModificare

Fie A o mulțime nevidă și   mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci cardinalul lui A este strict mai mic decât cardinalul lui  

DemonstrațieModificare

Fie funcția oarecare care pune în corespondență o mulțime A cu mulțimea submulțimilor P(A) a acestei mulțimi A:

f: A →  

Demonstrarea acestei teoreme este echivalentă cu a demonstra enunțul: f nu poate fi surjectivă. Pentru aceasta e suficient a determina o submulțime a lui A care să nu fie imaginea lui f.

Considerăm mulțimea

 

Pentru a arăta că B nu este imaginea lui f, să presupunem prin absurd că B este imaginea lui f. Atunci pentru un   avem  . Avem cazurile:

  •   :

atunci   deci  

  •  

atunci   deci  

În ambele cazuri se obține o contradicție. Aceasta dovedește că B nu este imaginea lui f, deci f nu este surjectivă.

Deci mulțimile A și   nu sunt echipotente.

BibliografieModificare

  • en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
  • en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

Vezi șiModificare

Legături externeModificare