Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia . Funcţia e marcată cu roşu, iar tangenta în punctul e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în iar este valoarea transformatei Legendre , unde .

Preliminarii

modificare

În calcule, în locul unei funcții   este mai util de utilizat o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx.

Prin transformarea indicată de Legendre se obține funcția:

 

Definiții

modificare

Pentru a obține maximul lui   se pune condiția ca derivata acesteia să fie zero:

 

Așadar maximul este atins când:

 .

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

 

deoarece s-a presupus că   este convexă.

Mai departe, din (2) se obține   ca o funcție de   și se introduce în (1). Se obține o formă mai utilă: