Armonice solide

soluții ale ecuației lui Laplace

În fizică și matematică, armonicele solide sunt soluții ale ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Există două feluri de armonice solide:

  • armonice solide regulate , care tind către zero în origine
  • armonice solide neregulate, care sunt singulare în origine.

Ambele seturi de funcții joacă un rol esențial în teoria potențialului, obținute prin rescalarea corespunzătoare a armonicelor sferice.

Derivări, legătura cu armonicele sferice

modificare

Introducând r, θ și φ pentru coordonatele sferice ale unui vector tridimensional r, putem scrie ecuația lui Laplace sub forma următoare:

 

în care L2 este pătratul operatorului momentului unghiular:

 

Se cunoaște că armonicele sferice Yml sunt funcții proprii ale lui L2:

 

Substituind Φ(r) = F(r) Yml în ecuația lui Laplace, obținem următoarea ecuație radială și soluția ei generală:

 

Soluțiile particulare ale ecuației Laplace sunt armonice solide regulate:

 

și armonice solide neregulate:

 

Normalizarea lui Racah (cunoscută și ca seminormalizarea lui Schmidt) se aplică ambelor funcții:

 

(și analog pentru armonicele solide neregulate). Se preferă această normalizare Racah deoarece în multe aplicații factorul normalizării apare neschimbat în toate derivările.

Teoremele de sumare

modificare

Translația armonicelor solide regulate conduce la o dezvoltare finită:

 

în care coeficientul Clebsch-Gordan este dat de:

 

Dezvoltarea similară pentru armonicele solide neregulate conduce la o serie infinită:

 

cu  . Cantitatea dintre paranteze este tot coeficientul Clebsch-Gordan:

 

Referințe

modificare

Teorema de sumare a fost demonstrată în multe feluri de diverși autori. Vezi cele două exemple diferite de demonstrare:

  • R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
  • M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

Forma reală

modificare

Printr-o simplă combinație liniară de armonice solide de ±m aceste funcții sunt transformate în funcții reale. Armonicele solide regulate reale, exprimate în coordonate carteziene, sunt polinoame omogene de ordinul l în x, y și z. Forma explicită a acestor polinoame are o anumită importanță. De exemplu, ele apar sub forma orbitei atomice sferice și a momentelor multipolare reale. Expresii carteziene explicite vor fi date pentru armonicele regulate reale.

Combinații liniare

modificare

Scriem în acord cu definiția de mai sus:

 

cu

 

în care   este un polinom Legendre de ordin l. Faza dependentă m este cunoscută drept faza Condon–Shortley

Următoarea expresie definește armonicele solide regulate reale:

 

iar pentru m = 0:

 

Deoarece transformarea se face prin intermediul matricii unitate, normalizarea armonicelor solide reale sau complexe este aceeași.

Parte z-dependentă

modificare

Dacă scriem u = cos θ, derivata m a polinoamelor Legendre poate fi scrisă prin următoare dezvoltare în u:

 

cu

 

Deoarece z = r cosθ urmează că, acestă derivată înmulțită cu o putere corespunzătoare a lui r, este un simplu polinom în z:

 

Parte (x,y)-dependentă

modificare

Scriind x = r sinθcosφ și y = r sinθsinφ:

 

De asemenea:

 

Mai mult:

 

și

 

În total

modificare
 
 

Lista celor mai scăzute funcții

modificare

Sunt listate cele mai scăzute funcții până la l = 5 inclusiv. Aici  


 

Cele mai scăzute funcții   și   sunt:

m Am Bm
0    
1    
2    
3    
4    
5    

De exemplu, partea unghiulară a celei de a noua sferică normalizată g a orbitei atomice este:

 

Una din cele 7 componente ale multipolului real de ordinul 3(octupol) ale unui sistem de N sarcini qi este:

 

Armonicele sferice sub forma carteziană

modificare

Următoarele formule exprimă armonicele sferice normalizate în coordonate carteziene (faza Condon-Shortley):

 

iar pentru m = 0:

 

Aici

 
 

iar pentru m > 0:

 

Pentru m = 0:

 

Folosind expresiile de mai sus pentru  ,   și   obținem:

 
 

Se poate verifica că aceste corespund cu funcțiile listate în tabelul armonicelor sferice.