Bază ortonormată

În algebra liniară, o bază ortonormată a unui spațiu euclidian V de dimensiune n peste este o bază algebrică cu toți vectorii având norma unitară și oricare doi vectori distincți ortogonali:

Există următoarea:

Teoremă: În orice spațiu euclidian există o bază ortonormată.

Avantajele utilizării bazelor ortonormateModificare

  • Calculul componentelor unui vector   într-o bază ortonormată se face simplu, cu ajutorul produsului scalar și nu prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
  • Într-un spațiu euclidian n-dimensional dotat cu o bază ortonormată, formulele de calcul pentru produsul scalar dintre doi vectori și norma unui vector au aceeași formă cu cele din  
  • Matricea de trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală, adică o matrice a cărei inversă este egală cu transpusa sa.

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste   și   o bază ortonormată a sa. Atunci dacă vectorul   are în baza ortonormată B scrierea

 

atunci componentele sale în această bază sunt date de formulele:

 

Prin urmare, orice vector   are în baza ortonormată   scrierea:

 

Matricea de trecere dintre două baze ortonormateModificare

Fie C o matrice cu n linii și n coloane cu elemente reale.

Definiție. O matrice   se numește matrice ortogonală dacă:

 

Din definiție rezultă că o matrice ortogonală C este inversabilă și  


Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste   o bază ortonormată a sa și   o altă bază a lui V, iar C matricea de trecere de la baza   la baza   Următoarele afirmații sunt echivalente:

  1. Baza   este ortonormată.
  2. Matricea C este o matrice ortogonală.

Vezi șiModificare