Subspațiu ortogonal

În algebra liniară, pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V, se numește subspațiu ortogonal (sau complement ortogonal) al acestuia, o mulțime W^⊥ care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului.

Propoziție. Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V, $B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ o bază a lui W și x un vector oarecare din V. Atunci:

$x\perp W\;\Leftrightarrow \;x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,m.$

Demonstrație.

• Faptul că $x\perp W\;\Rightarrow \;x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,n$ este evident deoarece din $x\perp W$ rezultă $x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,n\;$ căci $e_{j}\in W.$
• Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că $x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,n.\;$ Trebuie demonstrat că $\langle x,y\rangle =0,\;$ oricare ar fi vectorul $y\in W.$ Cum orice vector $y\in W$ se scrie în baza B sub forma $y=\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j},\;$ se obține $\langle x,y\rangle =\langle x,\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\cdot \langle x,e_{j}\rangle =0.$

Teorema subspațiului ortogonal

Teoremă. Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia. Atunci $V=W\oplus W^{\perp }.$

Demonstrație. Se arată că orice vector $x\in V$ se scrie în mod unic sub forma $x=u+w\;$ cu $\;w\in W\;$ și $u\in W^{\perp }.\;$ Subspațiul W fiind finit dimensional, se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată $B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}\;$ a lui W.

Fie x un vector oarecare din V. Vectorul w definit prin:

$w=\langle x,e_{1}\rangle \cdot e_{1}+\langle x,e_{2}\rangle \cdot e_{2}+\cdots +\langle x,e_{n}\rangle \cdot e_{n}+$

aparține subspațiului W.

Se notează $u=x-w$ și se demonstrează că $u\in W^{\perp }.$ În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că $u\perp e_{j},\;j=1,2,\cdots ,n.$

$\langle u,e_{j}\rangle =\langle x-w,\;e_{j}\rangle =\langle x,e_{j}\rangle -\langle x,e_{1}\rangle \cdot \langle e_{1},e_{j}\rangle -\langle x,e_{2}\rangle \cdot \langle e_{2},e_{j}\rangle -\cdots$

$\cdots -\langle x,e_{n}\rangle \cdot \langle e_{n},e_{j}\rangle =\langle x,e_{j}\rangle -\langle x,e_{j}\rangle =0\;\Rightarrow \;u\in W^{\perp }.$

Deci $x=w+u\;$   cu   $\;w\in W$   și   $u\in W^{\perp }\;\Rightarrow \;V=W+W^{\perp }.$

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că   $W\cap W^{\perp }=\{0\}.$

Fie   $x\in W\cap W^{\perp },\;\;\langle x,x\rangle =0\;\Rightarrow \;x=0\;\Rightarrow \;W\cap W^{\perp }=\{0\}.$

Corolar. Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice W subspațiu vectorial al lui V, atunci are loc descompunerea   $V=W\oplus W^{\perp }.$

Exemple

• În $\mathbb {R} ^{2}:$   $W=\{(x,0)|\;x\in \mathbb {R} \},\;W^{\perp }=\{(0,y)|\;y\in \mathbb {R} \},\;\mathbb {R} ^{2}=W\oplus W^{\perp }.$
• În $\mathbb {R} ^{3}:$   $W=\{(x,y,0)|\;x,y\in \mathbb {R} \},\;W^{\perp }=\{(0,0,z)|\;z\in \mathbb {R} \},\;\mathbb {R} ^{3}=W\oplus W^{\perp }.$

Vezi și

• Bază ortonormată