Subspațiu ortogonal

În algebra liniară, pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V, se numește subspațiu ortogonal (sau complement ortogonal) al acestuia, o mulțime W care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului.


Propoziție. Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V, o bază a lui W și x un vector oarecare din V. Atunci:

Demonstrație.

  • Faptul că este evident deoarece din rezultă căci
  • Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că Trebuie demonstrat că oricare ar fi vectorul Cum orice vector se scrie în baza B sub forma se obține

Teorema subspațiului ortogonalModificare

Teoremă. Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia. Atunci  

Demonstrație. Se arată că orice vector   se scrie în mod unic sub forma   cu   și   Subspațiul W fiind finit dimensional, se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată   a lui W.

Fie x un vector oarecare din V. Vectorul w definit prin:

 

aparține subspațiului W.

Se notează   și se demonstrează că   În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că  

 
 

Deci     cu       și    

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că    

Fie    


Corolar. Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice W subspațiu vectorial al lui V, atunci are loc descompunerea    

ExempleModificare

  • În      
  • În      

Vezi șiModificare