Câmp scalar

Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

$\varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,$

unde  $D\subseteq E^{n}.$

Suprafață de nivel

Dându-se un punct fix  $P_{0},$  suprafața de ecuație:

$\varphi (P)=\varphi (P_{0})$

se numește suprafață de nivel a câmpului  $\varphi (P),$  atașată punctului  $P_{0}.$

Exemplu

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin  $\varphi ({\vec {r}})={\vec {a}}\cdot {\vec {r}},$  unde  ${\vec {a}}$  este un vector unitar constant, iar  ${\vec {r}}$  este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

${\vec {a}}\cdot {\vec {r}}=C,$

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe  ${\vec {a}}.$ 

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul  $A(1,2,3)$  este planul perpendicular pe  ${\vec {a}}$  și care are ecuația:

${\vec {a}}\cdot {\vec {r}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}},$  unde  ${\vec {b}}={\vec {i}}+2{\vec {j}}+3{\vec {k}}.$ 

Derivata după o direcție

Fie o curbă  $(\Gamma )$  care trece printr-un punct  $P_{0}.$  Dacă există limita:

$\lim _{P\to P_{0}}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}$

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor  ${\vec {t}}$  în punctul  $P_{0},$ 

unde  ${\vec {t}}$  este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar  $l_{P_{0}P}$  este abscisa curbilinie a punctului  $P$  față de  $P_{0}.$ 

Notând cu  ${\vec {n}}$  versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin  $P_{0}$  și cu  $\theta$  unghiul dintre  ${\vec {t}}$  și  ${\vec {n}},$  există relația:

$\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}}$

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

$\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\right)_{P_{0}}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\right)^{2}}}.$

Dacă  $\varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),$  sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția  $F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),$  atunci:

${\frac {dF}{d{\vec {t}}}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}}{\partial {\vec {t}}}}.$

Exemplu

Pentru calculul derivatei lui  $\Phi =x^{2}yz+4xz^{2}$  în punctul  $A(1,2,-1)$  și după direcția  $2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}$  se fac calculele:

${\overrightarrow {\nabla }}\Phi ={\overrightarrow {\nabla }}(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}}+x^{2}z{\vec {j}}+(x^{2}y+8xz){\vec {k}},$

${\overrightarrow {\nabla }}\Phi _{A}=8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}}.$

Vectorul unitar în direcția  $2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}$  este:

${\vec {a}}={\frac {2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}.$

Deci:

${\overrightarrow {\nabla }}\Phi \cdot {\vec {a}}=(8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}})\cdot \left({\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)={\frac {37}{3}}.$

Gradientul unui câmp scalar

Dacă  $\alpha ,\beta ,\gamma$  sunt componentele versorului  ${\vec {t}},$  în cazul unui spațiu tridimensional:

$\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}.$

Vectorul de componente  ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}$  se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil  $\varphi (P)$  în punctul  $P_{0}\in D$  și se notează  $(grad\;\varphi )_{P_{0}}.$ 

Există relațiile:

$grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot {\vec {n}}$

$grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot grad\;\varphi _{h}.$

Operatorul diferențial vectorial:

${\vec {\nabla }}=={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}$

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

$grad\;\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}=\left({\vec {t}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\cdot \varphi .$

Derivata în raport cu un vector

Fie  ${\vec {u}}$  un vector de mărime u și versor  ${\vec {u}}_{0},$  adică  ${\vec {u}}=u\cdot {\vec {u}}_{0}.$  Dacă se notează  ${\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u\left({\vec {u}}_{0}\cdot {\dot {\nabla }}\right)$  atunci expresia:

$\left({\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\varphi =u\cdot {\frac {d\varphi }{d{\vec {u}}_{0}}}$

se numește derivata funcției  $\varphi (P)$  în raport cu vectorul  ${\vec {u}}.$

Vezi și

• Câmp vectorial