Câmp vectorial

Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).
Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y, x)

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Definiție matematicăModificare

Funcția vectorială:

   

definită pentru punct     (unde     este o submulțime a spațiului euclidian    ) se numește câmp vectorial.

Linii și suprafețe de câmpModificare

O curbă     situată în     se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial     dacă în fiecare punct     al său vectorul     este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

   

sau ale sistemului diferențial:

   

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă     sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

   

este o suprafață de câmp.

Divergență, rotor, gradientModificare

Expresia:

   

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil   

Notând     componentele câmpului vectorial     există relația:

   

Vectorul de componente:

   

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil    și se notează    

Există relația:

   

și

   

unde     este operatorul nabla.

Relații între operatoriModificare

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

ExempluModificare

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

   

și suprafața de câmp care trece prin curba:

   

Rezolvare. Sistemul diferențial al liniilor de câmp este:

   

și se reduce la:

   

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

 

 

 

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația     se obține     iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține    

Din relațiile     și     se obține relația de condiție    

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor     și     între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:

   

Vezi șiModificare