Clasificarea grupurilor simple finite

În matematică, clasificarea grupurilor simple finite este o teoremă care afirmă că orice grup simplu finit^⁠(d) aparține uneia dintre cele patru clase largi descrise mai jos. Aceste grupuri pot fi văzute ca elemente constitutive ale tuturor grupurilor finite, într-un mod care amintește de felul în care numerele prime reprezintă elementele constitutive ale numerelor naturale. Teorema Jordan-Hölder^⁠(d) este o modalitate mai precisă de a afirma acest lucru despre grupurile finite. Totuși, o diferență semnificativă față de factorizarea întregilor este aceea că astfel de „elemente constitutive” nu determină neapărat un grup unic, deoarece ar putea exista multe grupuri neizomorfe cu aceeași serie de compoziții^⁠(d). Altfel spus, problema extinderii^⁠(d) nu are o soluție unică.

Teoria grupurilor este esențială pentru multe domenii ale matematicii pure și aplicate, iar teorema de clasificare este una dintre marile realizări ale matematicii moderne. Dovada constă în zecile de mii de pagini din câteva sute de articole din reviste științifice scrise de aproximativ 100 de autori, publicate în cea mai mare parte între 1955 și 2004. Gorenstein^⁠(d) (1992), Lyon^⁠(d) și Solomon^⁠(d) publică treptat o versiune simplificată și revizuită a demonstrației.

Teoremă — Every finite Grup simplu is isomorphic to one of the following groups:

• a member of one of three infinite classes of such, namely:
  • the grup ciclic^⁠(d) of prime order,
  • the Grup altern of degree at least 5,
  • the grup de tip Lie^⁠(d)
• one of 26 groups called the "grup sporadic^⁠(d)"
• the Tits group^⁠(d) (which is sometimes considered a 27th sporadic group).

Teorema de clasificare are aplicații în multe ramuri ale matematicii, întrucât întrebările legate de structura grupurilor finite (și acțiunea lor asupra altor obiecte matematice) pot fi uneori reduse la întrebări cu privire la grupurile simple finite. Datorită teoremei de clasificare, uneori aceste întrebări pot primi răspuns prin verificarea fiecărei familii de grupuri simple și a fiecărui grup sporadic.

Daniel Gorenstein^⁠(d) a anunțat în 1983 că toate grupurile simple finite au fost clasificate, dar afirmația a fost una prematură, deoarece el nu știa despre demonstrația clasificării grupurilor quasithin^⁠(d). Demonstrația completă a clasificării a fost anunțată de Aschbacher (2004) după ce Aschbacher și Smith au publicat o demonstrație de 1221 de pagini pentru cazul quasithin care lipsea.

Bibliografie

• Aschbacher, Michael (2004). „The Status of the Classification of the Finite Simple Groups” (PDF). Notices of the American Mathematical Society^⁠(d). 51 (7). pp. 736–740. 
• Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs, 172, ISBN 978-0-8218-5336-8 
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9 
• Gorenstein, D. (1979), „The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1 (1): 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904, MR 0513750 
• Gorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, MR 0698782 
• Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR 0746470 
• Daniel Gorenstein^⁠(d) (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, 1 decembrie 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
• Gorenstein, D. (1986), „Classifying the finite simple groups”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 14 (1): 1–98, doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9, ISSN 0002-9904, MR 0818060 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0334-9, MR 1303592 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0391-2, MR 1490581 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II, Chapters 1-4: Uniqueness Theorems, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1379-9, MR 1675976 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2776-5, MR 1923000 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV: The Special Odd Case, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2777-2, MR 2104668 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The classification of the finite simple groups. Number 7. Part III, Chapters 7–11: The Generic Case, Stages 3b and 4a, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4069-6, MR 3752626 
• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4189-0 
• Mark Ronan^⁠(d), Symmetry and the Monster, ISBN: 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
• Marcus du Sautoy^⁠(d), Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN: 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
• Ron Solomon^⁠(d) (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
• Solomon, Ronald (2001), „A brief history of the classification of the finite simple groups” (PDF), American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR 1824893  – article won Levi L. Conant prize for exposition
• Thompson, John G. (1984), „Finite nonsolvable groups”, În Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press^⁠(d), pp. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, MR 0780566 
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer Science+Business Media, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012