Cosinus director

În geometria analitică cosinusurile directoare ale unui vector sunt cosinusurile unghiurilor dintre acel vector și axele de coordonate. Echivalent, ele sunt componentele bazei unui versor orientat în acea direcție. Cosinusurile directoare sunt o extensie analoagă noțiunii obișnuite de pantă la dimensiuni mai mari.

În spațiul tridimensional versorul are trei componente.

Coordonate carteziene tridimensionale

Vector v în R³, componentele vectorului, v_x, v_y și v_z, și unghiurile directoare a, b și c

Unghiurile directoare a, b și c, și componentele bazei canonice, e_x, e_y și e_z pentru versorul v/|v|

Articol principal: Coordonate carteziene.

Dacă v este un vector euclidian în spațiul euclidian tridimensional, R³,

$\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},$

unde e_x, e_y, e_z sunt componentele bazei canonice în notația carteziană, atunci cosinusurile directoare sunt

${\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}$

Ridicând la pătrat fiecare ecuație și adunând rezultatele se obține

$\cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$

unde α, β și γ sunt cosinusurile directoare și coordonatele carteziene ale versorului v/|v|, iar a, b și c sunt unghiurile directoare ale vectorului v.

Unghiurile directoare a, b și c sunt unghiuri ascuțite sau obtuze, adică 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π și 0 ≤ c ≤ π, și sunt unghiurile formate între v și componentele bazei canonice, e_x, e_y și e_z.

Înțelesul în general

În general, noțiunea de cosinus director se referă la cosinusul unghiului dintre oricare doi vectori euclidieni. Este o formă mai comodă de generare a elementelor unei matrice de rotație^⁠(d) care descrie un set de vectori de bază ortonormali în termenii unei alte mulțimi, sau pentru descrierea unui vector euclidian cunoscut într-o bază diferită.

Bibliografie

• E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tîrnoveanu, Geometrie analitică și diferențială, ed. a II-a, București, Editura Didactică și Pedagogică, 1965
• Marius Marinel Stănescu, Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, curs, Universitatea din Craiova
• en Kay, D. C. (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines. McGraw Hill. pp. 18–19. ISBN 0-07-033484-6. 
• en Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector analysis. Schaum’s Outlines (ed. 2nd). McGraw Hill. pp. 15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7. 
• en Tyldesley, J. R. (1975). An introduction to tensor analysis for engineers and applied scientists. Longman. p. 5. ISBN 0-582-44355-5. 
• en Tang, K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. 2. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9. 
• en Eric W. Weisstein, Direction Cosine la MathWorld.