Deschide meniul principal

Geometrie analitică

studiul geometriei folosind un sistem de coordonate

Geometria analitică (sau geometria carteziană) reprezintă o modalitate de abordare a geometriei cu ajutorul algebrei. Figurile geometrice sunt definite cu ajutorul ecuațiilor sau inecuațiilor, iar rezolvarea problemelor se face pur algebric. Pentru aceasta, planul și spațiul trebuie să fie dotate cu sisteme de coordonate carteziene.

Axa numerelor reale.

Geometrie analitică este o ramură a matematicii, a cărui obiect este studiul elementelor geometrice, dar utilizând calculul algebric. Apariția ei are loc în sec. XVII, sub impulsul cercetărilor lui Johannes Kepler în astronomie și ale lui Galileo Galilei în mecanică, aceștia descoperind curbele de gradul doi (elipsa în primul caz și parabola, în cel de al doilea). Aceste figuri geometrice nu mai prezentau doar un inters ca și curbe în sine, ci și ca traiectorii ale mișcării corpurilor, atât planete cât și ghiulele de tun. Scopul geometriei analitice este de a asocia fiecărei figuri geometrice o ecuație algebrică. În cazul curbelor din plan această ecuație are două necunoscute, iar în cazul suprafețelor din spațiu, ecuația asociată este cu trei necunoscute.

IstoricModificare

Matematicianului antic grec Menaechmus (Menechmus) (380 î.Hr. - 320 î.Hr.) i se atribuie (de către Platon) descoperirea secțiunilor conice parabola și hiperbola cu ajutorul cărora a rezolvat problema duplicării cubului.[1]Apollonius din Perga[2] (262 î.Hr. - 190 î.Hr.), în lucrarea sa, De sectione determinata (Διωρις μενη τομη), rezolvă probleme în modalitatea care astăzi ar fi numită geometrie analitică unidimensională. În scrierea Conicele, Apollonius dezvoltă metoda analitică, anticipând astfel scrierile lui René Descartes (1596 - 1650) la o distanță de 18 secole![3] Matematicianul persan Omar Khayyám (1048 - 1131) a rezolvat ecuația cubică folosind intersecția dintre parabolă și cerc.[4]

Pasul decisiv a fost realizat de către Descartes, de numele căruia este legată descoperirea și introducerea geometriei analitice.[5] Celebra sa lucrare Discurs despre metodă, conține un capitol intitulat chiar Geometrie.

Geometrie analitică planăModificare

În cele ce urmează, considerăm planul înzestrat cu un reper   , iar x și y sunt coordonatele punctului (abscisa și ordonata).

PunctulModificare

Punctul poate fi reprezentat printr-un sistem de două ecuații de gradul întâi cu două necunoscute:

 

DreaptaModificare

Dreapta poate fi reprezentată printr-o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute:

 .

Ecuația dreptei de pantă m care trece prin punctul A(x0,y0) este  

Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite A(x0,y0), B(x1,y1) este   și poate fi scrisă sub forma  , dacă  .

Fie dreptele d: ax + by + c = 0 și d': a'x + b'y + c' = 0.

  • Dacă  , atunci d și d' sunt concurente; dacă  , atunci d=d'; dacă  , atunci  .
  • Distanța de la punctul M(x0,y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este  

FormuleModificare

  • Distanța dintre punctele   și  :


 


  • Mijlocul segmentului   este dat de:
 


  • Centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile   :


G    


  • Suprafața triunghiului   :


 

Geometrie analitică în spațiuModificare

PunctulModificare

Punctul este reprezentat prin sistemul:

 

PlanulModificare

Planul poate fi reprezentat printr-o ecuație de forma:

 

Vectorul de poziție cu coordonatele (A, B, C) este perpendicular pe planul Ax+By+Cz+D=0.

Ecuația planului care trece prin punctul (x0,y0,z0) este A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Ecuația planului care trece prin 3 puncte necoliniare A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2),C(x3, y3, z3) este  . Condiția de necoliniaritate a trei puncte de coordonate (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),(x3,y3,z3) este  .

Două plane p:Ax+By+Cz+D=0 și p'=A'x+B'y+C'z+D'=0 cu   sau   sau   se intersectează după o dreaptă.

DreaptaModificare

Dreapta în spațiu poate fi considerată ca intersecția a două plane:

 

Ecuațiile parametrice ale dreptei determinată de punctul M0(x0,y0,z0) și vectorul director   sunt  , unde  .

Dreapta determinată de punctul M0(x0,y0,z0) și vectorul director   poate fi descrisă prin ecuațiile canonice:  .

Fie dreptele d1 și d2 date prin ecuațiile canonice   și, respectiv,  . Unghiul   format de dreptele d1 și d2 este dat de formula:  .

FormuleModificare

  • Distanța dintre două puncte  :


 
  • Mijlocul segmentului   :
 
  • Centrul de greutate al triunghiului   are coordonatele:
G    

Poziția relativă a unei drepte față de un planModificare

Fie   și  .

1) Dacă   intersectează planul într-un punct.

2) Dacă   și   atunci  .

3) Dacă   și   atunci  .

Unghiul format de o dreaptă cu un planModificare

Fie dreapta d dată de ecuațiile:   și planul P dat de ecuația  . Fie   unghiul dintre dreapta d și planul P.

Avem  .

NoteModificare

  1. ^ Cooke, Roger - The History of Mathematics, John Wilet & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
  2. ^ Acestui matematician grec i se atribuie folosirea, pentru prima dată, a denumirilor elipsă, hiperbolă, parabolă.
  3. ^ Boyer, Carl B. - "Apollonius of Perga", A History of Mathematics, John Wilwy & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
  4. ^ Glen M. Cooper - Omar Khayyám, the mathematician, The Journal of the American Oriental Society 123, 2003.
  5. ^ Stillwell John - "Analytic Geometry", Mathematics and its History, Springer Science + Business Media Inc., 2004. ISBN 0-387-95336-1.

BibliografieModificare

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Creangă, I. - Curs de geometrie analitică, Editura Tehnică București, 1951
  • Ghioca, A., Anghelescu, N., Streinu-Cercel, G. - Matematică - manual pentru clasa a XII - a, Editura Sigma, București, 2002
  • Mihăileanu, N.- Geometrie analitică, proiectivă și diferențială, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972
  • Savu, I., Stoica, A. - Bacalaureat la matematică, Editura GIL, București, 2006

Vezi șiModificare

Legături externeModificare