Prin bila deschisă de centru și de rază , notată , se înțelege mulțimea punctelor a căror distanță până la x este strict mai mică decât r: . Bila închisă de centru x și rază r, notată sau, uneori, , este .
De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secțiunea următoare), orice bilă deschisă este o mulțime deschisă și orice bilă închisă este o mulțime închisă. În orice spațiu metric are loc , unde desemnează închiderea topologică a mulțimii M. În spațiile normate finit-dimensionale, de exemplu în , , și , are loc egalitatea .
Orice metrică induce o topologie pe mulțimea de puncte. Astfel, orice spațiu metric este și spațiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):
O submulțime a spațiului este deschisă dacă pentru orice punct al ei există o bilă centrată în acel punct și de rază nenulă inclusă în A ()
O submulțime este vecinătate a punctului dacă V include cel puțin o bilă de rază nenulă centrată în x:
Pe o aceeași mulțime se pot defini mai multe funcții distanță, rezultând structuri de spațiu metric distincte pe aceeași mulțime de bază. Două funcții distanță, și definite pe aceeași mulțime se numesc:
echivalente topologic dacă induc aceeași topologie pe , adică dacă orice vecinătate în raport cu este vecinătate și în raport cu
echivalente Lipschitz dacă există două constante reale pozitive astfel încât
Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.
De exemplu, mulțimea numerelor raționale nu este spațiu metric complet deoarece șirul este fundamental fără a fi convergent (același șir, în mulțimea numerelor reale este convergent și are ca limită numărul e. În schimb, mulțimea numerelor reale este spațiu metric complet.