În matematică, numerele complexe sunt numere introduse ca soluții ale ecuațiilor de forma cu p număr real strict pozitiv.

Un număr complex poate fi reprezentat vizual ca pereche de numere (a, b) formând un vector de poziție al unui punct în diagrama Argand, reprezentând planul complex. Re e axa reală, Im e axa imaginară, i e unitatea imaginară care îndeplinește i2 = −1.

Formal, corpul numerelor complexe, notat cu , este mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale (a, b), înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

Elementul neutru al operației de adunare este iar elementul neutru al operației de înmulțire este

Deoarece și , mulțimea numerelor reale poate fi privită ca subcorp a lui , identificând numărul real cu

Numărul complex are proprietatea adică Fiindcă niciun număr real nu are această proprietate, numărul i a fost denumit „unitatea imaginară” de René Descartes, iar de aici vine notația i. În present, „numerele imaginare” se referă la numere complexe de forma adică xi cu x număr real.

Există o similaritate între operația de adunare a numerelor complexe și adunarea vectorilor. Numerele complexe permit obținerea unor valori pentru funcțiile sinus, cosinus prin rezolvarea prin 2 procedee (algebric și trigonometric) a unei ecuații binome implicând rădăcini ale unității.

Istoric modificare

Așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma   unde q nu este un pătrat perfect, numerele complexe au fost introduse ca soluții ale ecuațiilor de forma   cu p număr real strict pozitiv.

Primul matematician care menționează sumar radicali de ordinul II din numere negative exprimate ca diferență de numere intregi pozitive e Heron din Alexandria la un calcul legat de o mărime geometrică pentru trunchiul de con.

Următorul matematician care descoperă prezența radicalilor din numere negative (la studiul ecuației de gradul al treilea) e Girolamo Cardano in 1545. Tratatul din 1572 al lui Rafael Bombelli face un studiu al regulilor operațiilor cu numere complexe. Acest studiu e continuat în secolul următor de René Descartes și John Wallis, ulterior de Abraham de Moivre și Roger Cotes care stabilesc conexiunea dintre numere complexe și trigonometrie. Cotes in 1715 ajunge la a deduce formula lui Euler sub formă logaritmică. Logaritmii numerelor negative ca numere complexe sunt analizați de Leonhard Euler.

Ulterior se extinde la scară extinsă printre matematicieni acceptarea reprezentării geometrice prin planul complex cu Caspar Wessel, Jean Robert Argand și Carl Friedrich Gauss (în memoriul său din 1932).

Forma algebrică modificare

Ținând cont de cele de mai sus, orice număr complex z corespunde la o singură pereche ordonată   unde a și b sunt numere reale, și poate fi scris

 

Această scriere   este numită forma algebrică a numărului z. Spre exemplu:

  •   și  
  •   este numit unitatea imaginară sau, mai simplu, „numărul i”. Are proprietatea  

Pentru un număr complex     se numește partea reală a lui   și se notează   iar   se numește partea imaginară a lui   și se notează   Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma  ) se mai numește „număr imaginar”.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe modificare

 
Argumentul φ și modulul r localizează un punct în planul complex
 
Reprezentarea grafică a numerelor complexe de modul unitar pe cercul unitate

Așa cum unui număr real îi se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex îi se poate asocia un punct aflat într-un plan denumit planul complex. Numărului complex   i se asociază punctul M(a, b) situat pe un cerc de rază egală ca lungime cu modulul r numărului complex. Această asociere stă la baza diagramelor Argand. Raza unui cerc dusă din originea sistemului de coordonate până la punctul M este un vector euclidian de poziție al punctului respectiv.

Reprezentarea grafică pentru numere complexe a fost studiată începând cu John Wallis.

Planul complex cartezian modificare

Reprezentarea numerelor complexe în planul complex se poate face prin coordonatele carteziene constituite de axa reală orizontală (abscisa) Ox și axa imaginară verticală (ordonata) Oy.

Planul complex în coordonate polare modificare

Folosirea unui sistem de raportare prin coordonate polare în plan permite situarea punctului din plan asociat unui număr complex pe un cerc de rază egală cu modulul numărului complex, modul egal cu lungimea (modulul) vectorului dec poziție al punctului reprezentat de numărul complex.

Cercul asociat unui număr complex constituie un loc geometric al numerelor complexe cu același modul.

Folosirea în probleme de geometrie modificare

Numerele complexe pot fi folosite în probleme geometrice similar cu folosirea vectorilor euclidieni. Diferența a două numere complexe în forma algebrică este echivalentă cu un vector orientat de la punctul asociat celui de al doilea număr complex (care este al doilea termen al scăderii) către punctul asociat primului număr complex (care este primul termen al scăderii).

Folosirea numerelor complexe permite demonstrarea unor teoreme geometrice, de exemplu teorema bisectoarei.

Relații și operații cu numere complexe modificare

  • Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
 
Adunarea a două numbere complexe poate fi făcută geometric prin construirea unui paralelogram
  • Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d). Pentru diferență componentele numărului complex care se scade sunt luate cu semnul minus, adică se adună opusul numărului complex care se scade.
  • Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
  • Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Numerele complexe permit factorizarea unei sume de pătrate similar procedeului de la diferență a două pătrate în produsul sumei prin diferență.

 

Împărțire modificare

Numărul complex   se numește conjugatul complex al numărului complex   (vezi mai jos).

Pentru fiecare număr complex   în afară de zero, se poate găsi un număr complex   invers lui[1] Pentru aceasta înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu numărul complex   conjugat numitorului:  

Se definește rezultatul împărțirii numărului complex   cu un număr diferit de zero  

 

Ca și în cazul numerelor reale, împărțirea poate fi înlocuită cu înmulțirea deîmpărțitului cu inversul divizorului.

Forma trigonometrică modificare

Orice număr complex a cărui formă algebrică este   poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma  , unde   este modulul numărului complex z, iar   este argumentul acestui număr complex .

Forma trigonometrică permite sublinierea rezultatului operațiilor de înmulțire, împărțire, ridicare la un exponent intreg și extragerea de radicali.

 
înmulțirea lui 2 + i (triunghiul albastru) și 3 + i (triunghiul roșu). Triunghiul roșu e rotit până pe latura celui albastru (adunarea celor două unghiuri în termenii lui φ1+φ2 în egalitate) și întins cu lungimea ipotenuzei triunghiului albastru (produsul celor două raze, prin termenul r1r2 in the equation).
  •  
  •    
  •  
  •   , k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențială modificare

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este   poate fi scris sub forma exponențială  . Această posibilitate reiese din formula lui Euler.

Forma matricială modificare

Mulțimea matricilor de dimensiuni   de forma:   cu   reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde   reprezintă matricea unitate și matricea   reprezintă unitatea imaginară. Avem:

 
 
  (analog cu  )
 

Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni  .

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma

 

Conjugatul unui număr complex modificare

  • Conjugatul complex al unui numar   este numărul complex   .
  • Proprietățile conjugatului complex :
    •  
    •  
    •  
    •      

Modulul unui număr complex modificare

  • Modulul numărului complex   este numărul real  . Este lungimea (modulul) vectorului poziție al afixului numărului complex.
  • Proprietățile modulului:
    •  
    •  
    •  
    •   (inegalitatea triunghiului)
    •  
    •  
    •  
    • Are loc identitatea   și deci   , dacă  
    •  .

Puterile și radicalii numerelor complexe modificare

Puterile lui i modificare

    

    

Generalizare:

  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  

Puterile naturale ale numerelor complexe modificare

Pentru puteri naturale   ale numerelor complexe scrise sub forma polară   există formula de calcul:

  •  

sau, folosind forma algebrică a numerelor complexe  , se obține prin binomul lui Newton

  •  ,

unde   reprezintă coeficientul binomial (numărul de combinări de   elemente luate câte  ).

Puterile complexe ale numerelor complexe modificare

Dacă baza   și exponentul   al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

  •  

Radicalii numerelor complexe modificare

În privința calculului cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regula semnelor de la numere reale nenegative pentru produse și câturi sub radical. Indiferent care din cele două valori se folosesc, i sau   se obține:

 

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex   se folosește formula

 ,

unde k ia valorile  . Un număr complex are deci n rădăcini complexe. Astfel, radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

Logaritmul unui număr complex modificare

Numărul complex   este un logaritm natural al numărului complex   dacă

 .

Urmărește că dacă   este un logaritm natural a lui z, atunci fiecare dintre numerele  , cu  , este și el un logaritm natural a lui z. Cu alte cuvinte, logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat, iar logaritmii naturali ai lui z sunt numerele

 

unde   este logaritmul natural (unic) al numărului real  , și   este un argument (neunic) a lui  .

Pentru a obține o valoare unică a logaritmului, se poate folosi în formula precedentă valoarea principală a argumentului — adică unicul argument   al lui   astfel încât   Prin convenție, valoare principală a argumentului se notează cu majusculă, pentru a o diferenția din altele argumente:

  și  

Se numește valoarea principală a logaritmului natural numărul complex

 

Ca pentru valoarea principală a argumentului, valoarea principală a logaritmului natural se notează cu majusculă, pentru a o diferenția din alți logaritmi.

Formulat altfel, dacă  , unde   și  , atunci valoarea principală a logaritmului lui   este

 .

Formula lui Euler și identitatea lui Euler modificare

Pornind de la reprezentarea funcțiilor sinus și cosinus pe cercul trigonometric se poate ajunge la formula lui Euler care exprimă un număr complex de modul unitate (rădăcină a unității) prin intermediul funcției exponențiale:

 

În cazul particular în care φ = π se obține identitatea lui Euler.[2]

 

Note modificare

Bibliografie modificare

  • Nicolae Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 206-208
  • en Lars Ahlfors. 
  • ***, Manual de Algebră pentru clasa a IX-a, 1988

Vezi și modificare

Legături externe modificare


  MatematicăTeoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • •    • •    • •    • •    • •    • •    • •    • •