În matematică, numerele complexe au apărut ca soluții ale ecuațiilor de forma , cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma , unde q nu este un pătrat perfect.

Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, , înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

,
.

Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu .

Elementul neutru al operației de adunare este iar elementul neutru al operației de înmulțire este .

Deoarece și , mulțimea numerelor reale, , poate fi privită ca submulțime a lui , identificând numărul real cu .

Numărul complex are proprietatea , adică identificat cu numărul real . Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul " („i” de la „imaginar”).

Numerele complexe de forma se numesc „numere imaginare”.

Cuprins

Forma algebricăModificare

Numărul complex   este notat cu   și numit „numărul i”. Are proprietatea  .

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex   poate fi scris  .

  • Forma algebrică a unui număr complex este  , unde a și b sunt numere reale.
  •   numit unitatea imaginară;  ;  .
  • Pentru un număr complex  ,   se numește partea reală a lui   și se notează  , iar   se numește partea imaginară a lui   și se notează  .
  • Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma:  ) se mai numește „număr imaginar”.
  • Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
  • Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d).
  • Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
  • Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Forma trigonometricăModificare

Orice număr complex a cărui formă algebrică este   poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma  , unde   este modulul numărului complex z, iar   este argumentul acestui număr complex .

  •  
  •    
  •  
  •   , k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențialăModificare

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este   poate fi scris sub forma exponențială  . Această posibilitate se datorează valabilității formulei lui Euler.

Forma matricialăModificare

Mulțimea matricilor de dimensiuni   de forma:   cu   reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde   reprezintă matricea unitate și matricea   reprezintă unitatea imaginară. Avem:

 
 
  (analog cu  )
 

Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni  .

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma

 

Conjugatul unui număr complexModificare

  • Conjugatul complex al unui numar   este numărul complex   .
  • Proprietățile conjugatului complex :
    •  
    •  
    •  
    •      

Modulul unui număr complexModificare

  • Modulul numărului complex   este numărul real  .
  • Proprietățile modulului:
    •  
    •  
    •  
    •   (inegalitatea triunghiului)
    •  
    •  
    •  
    • Are loc identitatea   și deci   , dacă  
    •  .

Puterile și radicalii numerelor complexeModificare

Puterile lui  Modificare

    

    

Generalizare:

  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  

Puterile naturale ale numerelor complexeModificare

Pentru puteri naturale   ale numerelor complexe scrise sub forma polarǎ   avem formula de calcul:

  •  

sau, folosind forma algebricǎ a numerelor complexe  , se obține

  •  ,

unde   reprezintǎ combinǎri de   luate câte  .

Puterile complexe ale numerelor complexeModificare

Dacǎ baza   și exponentul   al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

  •  

Radicalii numerelor complexeModificare

În ceea ce privește calculul cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regulile de calcul ca și cele pentru numere reale nenegative. Indiferent, care din cele două valori se folosesc   sau   se obține:

   

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex   se folosește formula

    ,

unde k ia valorile  . Un număr complex are deci n rădăcini complexe. Astfel radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

Logaritmul unui număr complexModificare

Logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat. Un număr complex w reprezinta logaritmul natural al unui număr complex z, dacă

   .

Prin w se înțelege orice număr de forma   ca fiind logaritmul natural al numărului z unde  . Drept consecință se lucrează în majoritatea cazurilor cu valori principale ale numerelor complexe, adică fâșii ale planului numerelor complexe.

Valoarea principală a unui număr complex este

    

unde   si  

    .

sau, formulat altfel

   ,

unde   este valoarea principală a argumentului numărului complex.

Reprezentarea grafică a numerelor complexeModificare

 
Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan. Numărului complex z = a + bi i se asociază punctul M(a,b).

Această asociere stă la baza diagramelor Argand.

Formula lui Euler și identitatea lui EulerModificare

 

În cazul în care φ = π se obține "Identitatea lui L. Euler".[1]

 

NoteModificare

Vezi șiModificare

Legături externeModificare