Număr complex

În matematică, numerele complexe sunt numere apărute ca soluții ale ecuațiilor de forma , cu p număr real strict pozitiv, așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma , unde q nu este un pătrat perfect.

Un număr complex poate fi reprezentat vizual ca pereche de numere (a, b) formând un vector de poziție al unui punct în diagrama Argand, reprezentând planul complex. Re e axa reală, Im e axa imaginară, i e unitatea imaginară care îndeplinește i2 = −1.

Formal, mulțimea numerelor complexe reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b), înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

,
.

Mulțimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu .

Elementul neutru al operației de adunare este iar elementul neutru al operației de înmulțire este .

Deoarece și , mulțimea numerelor reale, , poate fi privită ca submulțime a lui , identificând numărul real cu .

Numărul complex are proprietatea , adică identificat cu numărul real . Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost denumit "numărul " („i” de la „imaginar”).

Numerele complexe de forma se numesc „numere imaginare”.

IstoricModificare

Primul matematician care menționează sumar radicali de ordinul II din numere negative exprimate ca diferență de numere intregi pozitive e Heron din Alexandria la un calcul legat de o mărime geometrică pentru trunchi de con.

Următorul matematician care descoperă prezența radicalilor din numere negative (la studiul ecuației de gradul al treilea) e Girolamo Cardano in 1545. Tratatul din 1572 al lui Rafael Bombelli face un studiu al regulilor operațiilor cu numere complexe. Acest studiu e continuat în secolul următor de Rene Descartes și John Wallis, ulterior de Abraham de Moivre și Roger Cotes care stabilesc conexiunea dintre numere complexe și trigonometrie. Cotes in 1715 ajunge la a deduce formula lui Euler sub formă logaritmică. Logaritmii numerelor negative ca numere complexe sunt analizați de Leonhard Euler.

Ulterior se extinde la scară extinsă printre matematicieni acceptarea reprezentării geometrice prin planul complex cu Caspar Wessel, Jean Robert Argand și Carl Friedrich Gauss (în memoriul său din 1932).

Forma algebricăModificare

Numărul complex   este notat cu   și numit „numărul i”. Are proprietatea  .

Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex   poate fi scris  .

  • Forma algebrică a unui număr complex este  , unde a și b sunt numere reale.
  •   numit unitatea imaginară;  ;  .
  • Pentru un număr complex  ,   se numește partea reală a lui   și se notează  , iar   se numește partea imaginară a lui   și se notează  .
  • Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma:  ) se mai numește „număr imaginar”.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexeModificare

 
Argumentul φ și modulul r localizează un punct în planul complex
 
Reprezentarea grafică a numerelor complexe de modul unitar pe cercul unitate

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan denumit planul complex. Numărului complex z = a + bi i se asociază punctul M(a,b) situat pe un cerc de rază egală ca lungime cu modulul r al numărului complex. Această asociere stă la baza diagramelor Argand. Raza unui cerc dusă din originea sistemului de coordonate până la punctul M este un vector euclidian de poziție al punctului respectiv.

Reprezentarea grafică pentru numere complexe a fost studiată începând cu John Wallis.

Planul complex cartezianModificare

Reprezentarea numerelor complexe în planul complex se poate face prin coordonatele carteziene constituite de axa reală orizontală (abscisa) Ox și axa imaginară verticală (ordonata) Oy.

Planul complex în coordonate polareModificare

Folosirea unui sistem de raportare prin coordonate polare în plan permite situarea punctului din plan asociat unui număr complex pe un cerc de rază egală cu modulul numărului complex. Acesta este egal și lungimii vectorului de poziție al punctului reprezentat de numărul complex.

Cercul asociat unui număr complex constituie un loc geometric al numerelor complexe de modul egal.

Folosirea în probleme de geometrieModificare

Numerele complexe pot fi folosite in probleme geometrice similar folosirii vectorilor euclidieni. Diferența a două numere complexe în forma algebrică este echivalentă unui vector orientat de la punctul asociat celui de al doilea număr complex termen al scăderii către punctul asociat primului număr complex al scăderii.

Relații și operații cu numere complexeModificare

  • Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
 
Adunarea a două numbere complexe poate fi făcută geometric prin construirea unui paralelogram.
  • Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d). Pentru diferență componentele numărului complex care se scade sunt luate cu semnul minus, adică se adună opusul numărului complex care se scade.
  • Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
  • Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

ÎmpărțireModificare

Numărul complex   se numește complex conjugatul numărului complex   (vezi mai jos).

Pentru fiecare număr complex   în afară de zero, se poate găsi un număr complex   invers lui[1] Pentru aceasta înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu numărul complex   conjugat numitorului:  

Se definește rezultatul împărțirii numărului complex   cu un număr diferit de zero  

 

Ca și în cazul numerelor reale, împărțirea poate fi înlocuită cu înmulțirea deîmpărțitului cu un număr invers divizorului.

Forma trigonometricăModificare

Orice număr complex a cărui formă algebrică este   poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma  , unde   este modulul numărului complex z, iar   este argumentul acestui număr complex .

Forma trigonometrică permite sublinierea rezultatului operațiilor de înmulțire, împărțire, ridicare la un exponent intreg și extragerea de radicali.

 
înmulțirea lui 2 + i (triunghiul albastru) și 3 + i (triunghiul roșu). Triunghiul roșu e rotit până pe latura celui albastru (adunarea celor două unghiuri în termenii lui φ1+φ2 în egalitate) și întins cu lungimea ipotenuzei triunghiului albastru (produsul celor două raze, prin termenul r1r2 in the equation).
  •  
  •    
  •  
  •   , k={0,1,2,... n-1}

Forma exponențialăModificare

Numărul complex a cărui formă trigonometrică este   poate fi scris sub forma exponențială  . Această posibilitate reiese din formula lui Euler.

Forma matricialăModificare

Mulțimea matricilor de dimensiuni   de forma:   cu   reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde   reprezintă matricea unitate și matricea   reprezintă unitatea imaginară. Avem:

 
 
  (analog cu  )
 

Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni  .

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma

 

Conjugatul unui număr complexModificare

  • Conjugatul complex al unui numar   este numărul complex   .
  • Proprietățile conjugatului complex :
    •  
    •  
    •  
    •      

Modulul unui număr complexModificare

  • Modulul numărului complex   este numărul real  .
  • Proprietățile modulului:
    •  
    •  
    •  
    •   (inegalitatea triunghiului)
    •  
    •  
    •  
    • Are loc identitatea   și deci   , dacă  
    •  .

Puterile și radicalii numerelor complexeModificare

Puterile lui  Modificare

    

    

Generalizare:

  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  
  •   cu   de forma  

Puterile naturale ale numerelor complexeModificare

Pentru puteri naturale   ale numerelor complexe scrise sub forma polară   există formula de calcul:

  •  

sau, folosind forma algebrică a numerelor complexe  , se obține prin binomul lui Newton

  •  ,

unde   reprezintă combinări de   luate câte  .

Puterile complexe ale numerelor complexeModificare

Dacă baza   și exponentul   al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

  •  

Radicalii numerelor complexeModificare

În ceea ce privește calculul cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regulile de calcul de la numere reale nenegative pentru produse și câturi. Indiferent care din cele două valori se folosesc, i sau   se obține:

 

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex   se folosește formula

 ,

unde k ia valorile  . Un număr complex are deci n rădăcini complexe. Astfel, radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

Logaritmul unui număr complexModificare

Logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat, caz similar puterii cu exponent fracționar (radical) a unui număr complex. Un număr complex w reprezintă logaritmul natural al unui număr complex z, dacă

 .

Prin w se înțelege orice număr de forma   ca fiind logaritmul natural al numărului z unde  . Drept consecință se lucrează în majoritatea cazurilor cu valori principale ale numerelor complexe, adică fâșii ale planului numerelor complexe.

Valoarea principală a unui număr complex este

 

unde   și  

 .

sau, formulat altfel

 ,

unde   este valoarea principală a argumentului numărului complex.

Formula lui Euler și identitatea lui EulerModificare

 

În cazul în care φ = π se obține "Identitatea lui L. Euler".[2]

 

NoteModificare

BibliografieModificare

  • Nicolae Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 206-208
  • Lars Ahlfors (). Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (ed. Third edition). Harvard University: McGraw-Hill Book Company. p. 317. ISBN 0-07-000657-1. 
  • ***, Manual de Algebră pentru clasa a IX-a, 1988

Vezi șiModificare

Legături externeModificare


  MatematicăTeoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • •    • •    • •    • •    • •    • •    • •    • •