Corp (matematică)
Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
În algebră, un corp se referă la o mulțime pe care sunt definite niște operații binare numite adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare pe numerele reale (cu posibila excepție a comutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).
Conceptul de corp a fost dezvoltat în secolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluția ecuaților polinomiale (cu ce a devenit teoria lui Galois), teoria algebrică a numerelor, și geometria algebrică.[1] A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.
Definiție
modificareSe numește corp un triplet în care este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar și sunt două operații pe (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:
- este grup abelian cu elementul neutru notat cu .
- este grup cu elementul neutru notat cu .
- „Înmulțirea” este distributivă față de „adunare”, adică pentru orice :
Dacă, în plus, „înmulțirea” este comutativă, atunci tripletul se numește corp comutativ.
Grupul se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.
Exemple
modificareMulțimea (respectiv ) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale (respectiv corpul numerelor reale).
Inelul al claselor de resturi modulo p este corp comutativ dacă și numai dacă p este un număr prim. Reciproc, orice corp finit al cărui cardinal p este prim este izomorf cu .
Subcorp
modificareDefiniție
modificareO submulțime a unui corp se numește subcorp al lui , dacă operațiile algebrice definite pe induc pe operații algebrice, împreună cu care este corp.
Dacă este subcorp al lui , atunci se numește extindere a lui și se notează sau .
Caracterizare
modificareO submulțime nevidă a unui corp este un subcorp a lui dacă și numai dacă:
Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: .
Exemple de subcorpuri
modificare- Fie un corp. Atunci este un subcorp al lui .
- este un subcorp al lui .
- Fie , înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Avem și .
Note
modificareBibliografie
modificare- Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
- Kleiner, Israel (), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309
Vezi și
modificareLegături externe
modificare- en „Skew-field - Encyclopedia of Mathematics”, Encyclopediaofmath.org, accesat în