Distributivitate

În matematică, proprietatea de distributivitate a operațiilor binare este o generalizare a distributivității din algebra elementară, care afirmă că întotdeauna

Vizualizare a distributivității la numere pozitive

De exemplu,

Se spune că înmulțirea este distributivă față de adunare.

Această proprietate de bază a numerelor este subînțeleasă în definirea majorității structurilor algebrice care au două operații numite adunare și înmulțire, cum ar fi numerele complexe, polinoamele, matricile, inelele și corpurile. Se întâlnește și în algebra booleană și logica matematică, unde fiecare dintre și logic (notat ) și sau logic (notat ) sunt distributive față de celălalt.

DefinițieModificare

Fie o mulțime S și două operații binare, ∗ și +, pe S. Operația ∗:

este distributivă la stânga pe + dacă, fiind date elementele x, y și z din S,

 

este distributivă la dreapta pe + dacă, fiind date elementele x, y și z din S,

  și

este distributivă pe + dacă este distributivă la stânga și la dreapta.[1]

Dacă ∗ este comutativă, cele trei condiții anterioare sunt logic echivalente.

ExempleModificare

Numere realeModificare

În exemplele următoare, este ilustrată distributivitatea pe mulțimea numerelor reale   În matematica elementară înmulțirea este distributivă. În algebră, numerele reale formează un corp, ceea ce asigură validitatea distributivității.

Primul exemplu

În timpul socotirii „în cap” distributivitatea se aplică adesea inconștient:

 

Pentru a socoti   de obicei se fac operațiile   și   și apoi se adună aceste rezultate parțiale. La fel se judecă și la socotelile „pe hârtie”.

Al doilea exemplu

Fie a, b, c, d o serie de variabile. Operațiile sunt:

 
Al treilea exemplu

În cazul sumelor distributivitatea se aplică indiferent cărei paranteze, rezultatul este același:

 
Al patrulea exemplu

Aici distributivitatea se aplică invers în comparație cu exemplele anterioare. Fie:

 

Deoarece factorul   apare în toți termenii, datorită distributivității poate fi dat factor comun. Se obține:

 

MatriciModificare

Distributivitatea este valabilă la înmulțirea matricilor. Mai exact,

 

pentru orice matrici     și    , la fel și

 

pentru orice matrici     și     Deoarece comutativitatea nu este valabilă la înmulțirea matricilor, cele două relații sunt diferite, neechivalente.

În logica propoziționalăModificare

Reguli de substituțieModificare

În logica propozițională standard, în demonstrațiile logice distributivitatea[2][3] are două reguli de substituție pentru a ddezvolta expresiile anumitor conectivități logice din cadrul unor formule în aplicații separate ale acelor conectivități între subformule ale formulei date. Regulile sunt:

 

și

 

unde " " (sau ) este un simbol cu sensul „poate fi înlocuit cu” sau „este logic echivalent cu”.

Conectivități funcționaleModificare

O serie de conectivități funcționale sunt distributive, fiind considerate tautologii.

Distributivitatea conjuncției pe conjuncție
 
Distributivitatea conjuncției pe disjuncție
 
Distributivitatea disjuncției pe conjuncție
 
Distributivitatea disjuncției pe disjuncție
 
Distributivitatea implicației
 
Distributivitatea implicației pe echivalență
 
Distributivitatea implicației pe conjuncție
 
Distributivitatea disjuncției pe echivalență
 
Dubla distributivitate
 

Distributivitate și rotunjireModificare

În aritmetica aproximativă, cum ar fi aritmetica în virgulă mobilă, distributivitatea înmulțirii (și împărțirii) asupra adunării poate eșua din cauza numărului limitat de cifre cu care se fac operațiile. Dar există și cazuri, cum ar fi identitatea   care dă un rezultat greșit indiferent de numărul de cifre folosit. Metodele de rotunjire ajută în unele cazuri, la fel și creșterea numărului de cifre semnificative, dar unele erori de calcul sunt inevitabile.

NoteModificare

  1. ^ en Distributivity of Binary Operations from Mathonline
  2. ^ en Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company
  3. ^ en Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

Legături externeModificare