Structură algebrică

mulțime echipată cu una sau mai multe legi de compoziție definite pe ea

În matematică o structură algebrică constă dintr-o mulțime A nevidă, o colecție de operații pe A (de obicei operații binare, cum ar fi adunarea și înmulțirea) , și un set finit de identități, cunoscut sub numele de axiome, pe care aceste operații trebuie să le satisfacă.

O structură algebrică se poate baza pe alte structuri algebrice cu operații și axiome care implică mai multe structuri. De exemplu, un spațiu vectorial implică o a doua structură numită corp și o operație numită înmulțire scalară între elementele corpului (numite scalari), și elemente ale spațiului vectorial (numite vectori).

Ramura matematicii care se ocupă de studiul structurilor algebrice este algebra abstractă. Teoria generală a structurilor algebrice a fost formalizată în algebra universală. Teoria categoriilor este o altă formalizare, care cuprinde și alte structuri matematice și funcții între structuri de același tip (homomorfisme).

În algebra universală o structură algebrică este numită algebră.[1] Acest termen poate fi ambiguu, deoarece, în alte contexte, o algebră este o structură algebrică care este un spațiu vectorial peste un corp sau un modul⁠(d) peste un inel comutativ.

Mulțimea tuturor structurilor de un anumit tip (cu aceleași operații și aceleași legi) se numește varietate⁠(d) în algebra universală; acest termen este folosit și cu un sens complet diferit în geometria algebrică, ca prescurtare a termenului varietate algebrică⁠(d). În teoria categoriilor, mulțimea tuturor structurilor de un anumit tip și homomorfismele dintre ele formează o categorie concretă⁠(d).

Introducere

modificare

Adunarea și înmulțirea sunt exemple tipice de operații care combină două elemente ale unei mulțimi pentru a produce un al treilea element din aceeași mulțime. Aceste operații se supun mai multor legi algebrice. De exemplu, a + (b + c) = (a + b) + c și a(bc) = (ab)c sunt legi asociative, iar a + b = b + a și ab = ba sunt legi comutative. Multe sisteme studiate de matematicieni au operații care se supun unora, dar nu neapărat tuturor legilor aritmeticii obișnuite. De exemplu, posibilele mișcări ale unui obiect în spațiul tridimensional pot fi combinate efectuând o primă mișcare a obiectului și apoi o a doua mișcare din noua sa poziție. Asemenea mișcări, numite formal transformări rigide, sunt asociative, dar nu și comutative.

Mulțimile cu una sau mai multe operații care respectă legi specifice se numesc structuri algebrice. Când o nouă problemă implică aceleași legi ca și cele ale unei alte structuri algebrice, toate rezultatele care au fost demonstrate folosind numai legile structurii pot fi aplicate direct noii probleme.

În general structurile algebrice pot implica o colecție arbitrară de operații, inclusiv operații care combină mai mult de două elemente (operații cu aritate mai mare) și operații care au doar un singur argument (operații unare) sau chiar niciun argument (operații nulare). Exemplele enumerate mai jos nu sunt o listă completă, dar cuprind cele mai comune structuri predate în învățământ.

Axiome obișnuite

modificare

Axiome care sunt ecuații

modificare

O axiomă a unei structuri algebrice are adesea forma unei identități, adică a unei ecuații astfel încât cei doi membri ai ecuației sunt expresii care implică operații și variabile ale structurii algebrice. Dacă variabilele din identitate sunt înlocuite cu elemente arbitrare ale structurii algebrice, egalitatea trebuie să rămână adevărată. Iată câteva exemple comune.

Comutativitate
O operație   este comutativă dacă
 

pentru orice x și y din structura algebrică.

Asociativitate
O operație   este asociativă dacă
 

pentru orice x, y și z din structura algebrică.

Distributivitate la stânga
O operație   este distributivă la stânga față de altă operație + dacă
 

pentru orice x, y și z din structura algebrică (a doua operație este notată aici prin +, deoarece în multe exemple comune a doua operație este adunarea).

Distributivitate la dreapta
O operație   este distributivă la dreapta față de altă operație + dacă
 

pentru orice x, y și z din structura algebrică.

Distributivitate
O operație   este distributivă față de altă operație + dacă este atât distributivă la stânga, cât și la drepta. Dacă operația   este comutativă, distributivitatea la stânga și la dreapta sunt echivalente cu distributivitatea.

Axiome de existență

modificare

Unele axiome obișnuite cuprind o clauză de existență. În general, o astfel de clauză poate fi evitată prin introducerea unor operații ulterioare și înlocuirea clauzei de existență cu o identitate care implică noua operație. Mai exact, se consideră o axiomă de forma „pentru orice X există y astfel încât  ”, unde X este un k-tuplu de variabile. Alegerea unei valori specifice a lui y pentru fiecare valoare a lui X definește o funcție   care poate fi văzută ca o operație cu aritatea k, iar axioma devine identitatea  

Introducerea unei astfel de operații auxiliare complică puțin enunțul unei axiome, dar are unele avantaje. Având în vedere o structură algebrică specifică, demonstrația că o axiomă de existență este satisfăcută constă în general în definirea funcției auxiliare, completată cu verificări directe. De asemenea, atunci când se calculează într-o structură algebrică, se utilizează în general în mod explicit operațiile auxiliare. De exemplu, în cazul numerelor, elementul opus este furnizat de operația unară minus  

De asemenea, în algebra universală, o varietate este o clasă de structuri algebrice care au în comun aceleași operații și aceleași axiome, cu condiția ca toate axiomele să fie identități. Ceea ce precede arată că axiomele de existență ale formei de mai sus sunt acceptate în definiția unei varietăți.

Iată câteva dintre cele mai comune axiome de existență.

Element neutru
O operație binară   are un element neutru dacă există un element e astfel încât
  și  

pentru orice x din structură. Aici, operația auxiliară este operația de aritate zero care are ca rezultat e.

Element invers
Fiind dată o operație binară   care are un element neutru e, un element x este inversabil dacă are un element invers, adică dacă există un element   astfel încât
  și  

De exemplu, un grup este o structură algebrică cu o operație binară care este asociativă, are un element neutru și toate elementele sale sunt inversabile.

Axiome care nu sunt ecuații

modificare

Axiomele unei structuri algebrice pot fi orice formulă de ordinul întâi⁠(d), adică o formulă care implică conectori logici (cum ar fi „și”, „sau” și „nu”) și cuantificatori logici⁠(d) ( ) care se aplică elementelor (nu submulțimilor) structurii.

O astfel de axiomă tipică este inversarea în corpuri. Această axiomă nu poate fi redusă la axiome ale tipurilor precedente. (De aici rezultă că corpurile nu formează o varietate în sensul algebrei universale.) Se poate afirma că: „orice element diferit de zero al unui corp este inversabil”, sau, echivalent: structura are o operație unară inv astfel încât

 

Operația inv poate fi văzută fie ca o operație parțială care nu este definită pentru x = 0; sau ca o funcție obișnuită a cărei valoare în 0 este arbitrară și nu trebuie utilizată.

Structuri algebrice mai cunoscute

modificare

Mulțime cu operații

modificare

Structuri simple: fără operații binare:

  • Mulțime: structură algebrică degenerată S fără operații.

Structuri de tip grup: o singură operație binară. Operația binară poate fi indicată prin orice simbol sau fără simbol (juxtapunere), așa cum se face pentru înmulțirea obișnuită a numerelor reale.

Structuri de tip inel: două operații binare, adesea numite adunare și înmulțire, cu înmulțirea distributivă peste adunare.

Structuri de tip latice: două sau mai multe operații binare, inclusiv operațiuni numite sup și inf⁠(d), conectate prin legea absorbției.

Două mulțimi cu operații

modificare
  • Modul⁠(d): un grup abelian M și un inel R acționând ca operatori pe M. Elementele din R sunt uneori numite scalari, iar operația binară a înmulțirii scalare este o funcție R × M → M, care satisface mai multe axiome. Numărând operațiile din inel, aceste sisteme au cel puțin trei operații.
  • Spațiu vectorial: un modul în care inelul R este un corp.
  • Algebră peste un corp: un modul peste un corp, care are și o operație de înmulțire care este compatibilă cu structura modulului. Aceasta cuprinde distributivitatea pentru adunare și liniaritatea pentru înmulțire.
  • Spațiu prehilbertian: un F spațiu vectorial V cu o formă biliniară definită V × V → F.

Structuri hibride

modificare

Structurile algebrice pot coexista cu o structură adăugată a cărei natură nu este algebrică, cum ar fi o ordine parțială⁠(d) sau o topologie. Structura adăugată trebuie să fie compatibilă, într-un anumit sens, cu structura algebrică.

  1. ^ en P.M. Cohn. (1981) Universal Algebra, Springer, p. 41.

Bibliografie

modificare
  • en Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (), Algebra (ed. 2nd), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2 
  • en Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (), Applied Algebra and Functional Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5 
  • en Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90578-3 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare