Nu confundați cu holomorfism sau homeomorfism.

În algebră, printr-un homomorfism este o aplicație care conservă structura între două structuri algebrice de același tip (așa cum ar fi două grupuri, două inele sau două spații vectoriale). Cuvântul homomorfism provine din limba greacă veche - ὁμός (homos), care înseamnă „același” și - μορφή (morfon) care înseamnă „formă”. Totuși, cuvântul a fost aparent introdus în matematică din cauza unei (greșite) traduceri a cuvântului german germană ähnlich cu sensul de similar comparativ cu ὁμός, care semnifică același.[1]

Termenul folosit astăzi, homomorfism, a fost prima dată menționat în 1892, fiind atribuit matematicianului german Felix Klein (1849–1925).[2]

Homomorfismele spațiilor vectoriale sunt numite și transformări liniare, iar studiul lor este subiectul algebrei liniare.

Conceptul de homomorfism a fost generalizat, sub denumirea de morfism, la multe alte structuri, care fie nu au o mulțime subiacentă, fie nu sunt algebrice. Această generalizare este punctul de plecare al teoriei categoriilor.

Un homomorfism poate fi, de asemenea, un izomorfism, un endomorfism, un automorfism, șamd, ... (vezi mai jos). Fiecare dintre acestea poate fi definit într-un mod care poate fi generalizat la orice clasă de morfisme.

Definiție

modificare

Un homomorfism este o aplicație matematică între două structuri algebrice de același tip, care conservă operația matematică a structurilor.

Ceea ce se poate scrie formal   între două mulțimi  ,  , care au aceeasși structură astfel încât, dacă   este operația structurii (presupusă aici, pentru simplitate, a fi o operație binară), atunci

 

pentru orice pereche  ,   de elemente ale mulțimii  .<ref group="note">

Așa cum este adesea cazul, dar nu întotdeauna, același simbol pentru funcționarea ambelor   și   a fost folosit aici. Se poate spune că   menține operația sau este compatibilă cu operația.

Astfel, formal, o aplicație de tipul   menține o operație matematică   de aritate k, definită atât de   cât și de   dacă

 

pentru toate elementele   din  .

Operațiile care trebuiesc a fi menținute de un homomorfism includ cele nulare, adică constantele. În special, atunci când un element de identitate este cerut de un anumit tip de structură, elementul de identitate al primei structuri trebuie mapat la elementul de identitate corespunzător al celei de-a doua structuri.

Note, referințe

modificare
  1. ^ Fricke, Robert (). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. B.G. Teubner. OCLC 29857037. 
  2. ^ A se vedea:
    • Ritter, Ernst (). „Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze” [The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem]. Mathematische Annalen (în germană). 41: 1–82. doi:10.1007/BF01443449.  From footnote on p. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a holohedric isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", … )
    • Fricke, Robert (). „Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen” [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (în germană). 41: 443–468. doi:10.1007/BF01443421.  From p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ(63) auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ(63) is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.) From footnote on p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)

Bibliografie

modificare

Legături externe

modificare