Un inel este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport și două operații binare, definite pe produsul cartezian cu valori în , numite convențional (sau operația aditivă) și (sau operația multiplicativă), astfel încât:

  1. formează un grup comutativ sau abelian. Elementul neutru al lui se notează în general cu .
  2. formează un monoid.
  3. Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice :

Termenul a fost introdus în 1897 de David Hilbert.[1]

Cuprins

DefinițiiModificare

Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică

  atunci inelul   este un inel comutativ.

Dacă   și înmulțirea admite element neutru, adică

  atunci inelul   este inel cu unitate sau inel unitar.

Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).[2]

Un inel în care orice element (în afară de  ) are invers față de înmulțire se numește corp.

Elementul neutru în raport cu operația   se notează   și se numește elementul nul, iar simetricul lui   în raport cu adunarea se notează   și se numește opusul lui  . În loc de  , vom nota  .

Dacă   este inel unitar, atunci elementele lui   simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .

Se notează cu   mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar  , adică

 

Fie   un inel. Două elemente   se numesc permutabile dacă  . Un element   se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul  . Mulțimea

 

a tuturor elementelor centrale din   se numește centrul inelului  .

Exemple de ineleModificare

  1. Inelul numerelor întregi
      este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar  .
  2. Inelul numerelor raționale
      este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus  .
  3. Inelul numerelor reale
      este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus  .
  4. Inelul numerelor complexe
      este inel comutativ cu  .
  5. Inelul   al claselor de resturi modulo n.
      este inel comutativ, iar  .

ProprietățiModificare

Fie   un inel. Atunci pentru  , avem:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   și  
  5. Dacă   este inel cu unitate, atunci  
  6. Dacă  ,atunci definim   și  . Pentru  , avem  .

NoteModificare

  1. ^ Math93, Une histoire des Mathématiques
  2. ^ Ioan Purdea, Gheorghe Pic, Tratat de algebră modernă, Vol. 1, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1977, p. 219

BibliografieModificare

  • Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
  • Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.

Vezi șiModificare