Produs cartezian

(Redirecționat de la Produsul cartezian)

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Noțiune prealabilă: perechi ordonate

modificare

Fie   și   două mulțimi nevide. Dacă   iar   atunci mulțimea   se numește pereche ordonată și se notează cu  

Perechile ordonate au proprietatea caractecteristică următoare: dacă   iar   atunci   dacă și numai dacă   și  

Definiția produsului cartezian

modificare

Fie   și   două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea   și mulțimea   mulțimea

 

Fie   mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există niciun   deci  . Analog,   și în particular  .

Produsul cartezian   se notează și  

Proprietăți algebrice

modificare

Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:

  • Este necomutativ, adică   (cu excepția cazurilor   sau   sau  ).
  • Conservă proprietatea de incluziune: dacă   și , atunci  
  • Este distributiv față de reuniune ( ), intersecție ( ) și diferență ( ):
    •  ;
    •  ;
    •  ;
    •  ;
    •  ;
    •  .

Cardinal

modificare

Pentru orice mulțimi finite   și   cardinali mulțimilor  ,   și   — adică numerele lor respective de elemente — verifică:

 

De fapt, această egalitate este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.

Generalizare la n mulțimi

modificare

În cazul a trei mulțimi produsul cartezian constă în triplete ordonate. Pentru n mulțimi se formează n-upluri ordonate.

Bibliografie

modificare
  • Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
  • Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.