Element neutru

În algebră, elementul neutru al unei legi de compoziție  $f:A\times A\rightarrow A$  este un element  $e\in A$  care, compus cu oricare element  $a\in A,$  îl lasă neschimbat:

$a\circ e=e\circ a=a,\;\forall a\in A,$

unde s-a notat  $f(a,b)=a\circ b.$

O operație asociativă având doar element neutru constituie o structură de monoid. Exemple sunt adunarea și înmulțirea numerelor naturale. Pentru mulțimea numerelor întregi adunarea fiecărui număr cu opusul său dă numărul zero, element neutru al operației de adunare a numerelor. Pentru mulțimea numerelor raționale înmulțirea fiecărui număr cu inversul său dă 1, elementul neutru al operației de înmulțire.

Exemple

• În mulțimea numerelor reale  $\mathbb {R} ,$  0 este element neutru față de adunare. 0 este element neutru și pentru adunarea funcțiilor numerice, în particular polinoame.
• În mulțimea numerelor reale  $\mathbb {R} ,$  1 este element neutru față de înmulțire.
• Pentru operația de reuniune a mulțimilor, mulțime vidă este element neutru.
• Pentru operația de intersecție a mulțimilor mulțimea totală (universală) este element neutru.
• Pentru compunerea funcțiilor, funcția identică a mulțimii domeniu de definiție a funcției este element neutru.
• Matricea identitate sau unitate  $I={\begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}}$  cu  $a_{ij}=0,\;i\neq j,\;i,j=1,2,,\cdots ,n$  și  $a_{ii}=1,\;i=1,2,\cdots ,n$  este elementul neutru față de înmulțirea matricilor pătrate de ordinul n.