Lege de compoziție

În mod frecvent se vorbește despre operații matematice pe anumite mulțimi. De exemplu, operația de scădere a numerelor întregi este un procedeu prin care perechii de numere întregi $(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ i se asociază numărul întreg $x-y\in \mathbb {Z}$ . Este important să se considere perechea sau mulțimea ordonată (x,y) și nu mulțimea {x,y}, deoarece contează ordinea în care apar x și y. De exemplu, perechiii (y,x) îi corespunde prin această operație numărul $y-x\in \mathbb {Z}$ , care în general diferă de x-y.

Generalizând, fie M o mulțime nevidă. Se numește lege de compoziție internă (sau operație algebrică) pe mulțimea M orice funcție definită pe M × M cu valori în M:

{\begin{array}{rccl}*:&M\times M&\longrightarrow &M\\&(x,y)&\longmapsto &z=x*y\end{array}}

care asociază fiecărei perechi $(x,y)\in M\times M$ un element unic $x*y\in M$ . Elementul $x*y\in M$ se citește x compus cu y.

O operație algebrică poate fi notată prin mai multe simboluri, de exemplu: $+,-,\times ,\oplus ,\circ ,\bigodot ,\cap ,\cup ,\Delta \!$ etc.

Exemple de operații algebrice

Adunarea pe mulțimea $\mathbb {N}$ :

{\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(x,y)&\longmapsto &z=x+y\end{array}}

Scăderea pe mulțimea $\mathbb {Z}$ :

{\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(x,y)&\longmapsto &z=x-y\end{array}}

Înmulțirea pe mulțimea $\mathbb {R}$ :

{\begin{array}{rccl}\circ :&\mathbb {R} \times \mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&(x,y)&\longmapsto &z=x\circ y\end{array}}

Adunarea pe mulțimea de matrici ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ :

{\begin{array}{rccl}+:&{\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )\times {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )&\longrightarrow &{\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )\\&(X,Y)&\longmapsto &Z=X+Y\end{array}}

Părți stabile față de operația *

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Prin definiție, o submulțime nevidă ${\mathit {H}}\subseteq {\mathit {M}}$ se numește parte stabilă (închisă) a lui M față de operația * dacă:

\forall {\mathit {x}},{\mathit {y}}\in {\mathit {H}}\Rightarrow {\mathit {x}}*{\mathit {y}}\in {\mathit {H}}

În acest caz restricția operației * la submulțimea H, adică funcția $\circ :{\mathit {H}}\times {\mathit {H}}\rightarrow {\mathit {H}},({\mathit {x}},{\mathit {y}})\mapsto {\mathit {x}}\circ {\mathit {y}}$ se numește operație pe H indusă de operația * de pe M.

Cele două operații pe M și pe H au fost notate diferit deoarece ele nu sunt egale ca funcții.

Exemple de părți stabile

Submulțimea $\mathbb {Z}$ este o parte stabilă a lui $\mathbb {R}$ față de adunare, deci putem spune că adunarea pe $\mathbb {Z}$ este indusă de adunare de pe $\mathbb {R}$ .
Submulțimea $\mathbb {H} =\left\{1,-1,i,-i\right\}$ este parte a lui $\mathbb {C}$ stabilă față de înmulțire deoarece produsele elementelor din H se mențin tot în H.

Proprietățile unei operații

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Spunem că:

1° Operația * este asociativă dacă $(x*y)*z=x*(y*z),\forall x,y,z\in M$ .

2° Operația * este comutativă dacă $x*y=y*x,\forall x,y\in M$

3° Operația * are elementul neutru e dacă $\exists e\in M$ astfel încât $x*e=e*x=x,\forall x\in M$ .

4° Dacă operația * are elementul neutru $e\in M$ , spunem că un element $x\in M$ este simetrizabil față de operația * dacă $\exists x^{\prime }\in M$ astfel încât $x*x^{\prime }=x^{\prime }*x=e$ (x′ se numește simetricul lui x).

Tabla Cayley

Ea este un tabel cu $n$ linii și $n$ coloane, unde $n=cardM$ , liniile și coloanele fiind etichetate fiecare cu câte unul din cele $n$ elemente ale lui $M$ .

Tabla Cayley a operației * conține la intersecția liniei de etichetă  $x$  cu coloana de etichetă  $y$ , elementul  $x*y$ .

Fie $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ cele n elemente ale mulțimii $M$ , atunci forma standard a tablei Cayley este:

Tabla Cayley
$*$	$a_{1}$	...	$a_{j}$	...	$a_{n}$
$a_{1}$
...
$a_{i}$			$a_{i}*a_{j}$
...
$a_{n}$

Tabla Cayley asociată perechii $(M,*)$ permite vizualizarea operației * și testarea rapidă a unor proprietăți pe care le verifică operația *. Dacă forma standard a perechii $(M,*)$ este dată de tabla de mai sus, atunci matricea $A=(a_{i}j)$ , unde $a_{i}j=a_{i}*a_{j}$ , $\forall i,j\in N$ și se numește matricea asociată perechii . $(M,*)$ Comutativitatea unei operații algebrice definită pe o mulțime finită se poate testa imediat examinând tabla sa Cayley: comutativitate ce înseamnă $a_{i}*a_{j}=a_{j}*a_{i}$ ,pentru orice i,j.Adică tabla sa Cayley este simetrică față de diagonala principală.

Comentarii și exemple

1° În notația aditivă (+) elementul neutru se notează cu 0 și se numește element nul, iar simetricul unui element x se notează cu -x și se numește opusul lui x. De exemplu, adunarea pe mulțimea $\mathbb {Z}$ este asociativă, comutativă și are elementul neutru 0, iar orice element $x\in \mathbb {Z}$ este simetrizabil față de adunare,având simetricul -x.

2° În notația multiplicativă elementul neutru este notat cu 1 sau cu e și se numește element unitate, iar simetricul unui element x se notează cu x^-1 sau cu ${\frac {1}{x}}$ și se numește inversul lui x. Elementul x care are element invers se numește element inversabil. De exemplu, înmulțirea pe mulțimea $\mathbb {Z}$ este asociativă, comutativă și are elementul neutru 1, dar singurele elemente simetrizabile în $\mathbb {Z}$ față de înmulțire sunt 1 cu simetricul 1 și -1 cu simetricul -1, celelalte elemente nu sunt simetrizabile deoarece simetricele lor nu aparțin mulțimii $\mathbb {Z}$ . Înmulțirea pe $\mathbb {R}$ \{0} este asociativă, comutativă, are elementul neutru 1 și toate elementele sunt simetrizabile, deoarece toate elementele sunt inversabile, iar inversele lor aparțin lui $\mathbb {R}$ .

Propoziție

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Atunci:

1° Dacă operația * are elementul neutru $e\in M$ , acesta este unic determinat.

2° Dacă operația * este asociativă și are elementul neutru e, iar $x\in M$ , este un element simetrizabil, atunci simetricul $x^{\prime }\in M$ , al lui x este unic determinat.

Demonstrație

1° Dacă $e^{\prime }\in M$ ar fi un alt element neutru , atunci $e*e^{\prime }=e$ , deoarece $e^{\prime }$ este element neutru, dar și $e*e^{\prime }=e^{\prime }$ , deoarece $e\!$ este element neutru, prin urmare $e=e^{\prime }$ .

2° Dacă $x^{\prime \prime }$ ar fi un alt simetric al elementului $x\in M$ , atunci, ținând seama că $x*x^{\prime \prime }=e$ și $x*x^{\prime }=e$ avem: $x^{\prime }=x^{\prime }*e=x^{\prime }*(x*x^{\prime \prime })=(x^{\prime }*x)*x^{\prime \prime }=e*x^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }$ , deci $x^{\prime }=x^{\prime \prime }$ .

Bibliografie

Cărți

Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

Articole

http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Arhivat în 28 februarie 2008, la Wayback Machine. Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Resurse online

Krowne, Aaron, Commutative la PlanetMath, Accessed 8 august 2007.

Definition of commutativity and examples of commutative operations

Eric W. Weisstein, Commute la MathWorld., Accessed 8 august 2007.

Explanation of the term commute

Yark. Examples of non-commutative operations la PlanetMath, Accessed 8 august 2007

Examples proving some noncommutative operations

O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 august 2007

Article giving the history of the real numbers

Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

Page covering the earliest uses of mathematical terms

O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois Arhivat în 2 septembrie 2009, la Wayback Machine., Accessed 8 august 2007

Biography of Francois Servois, who first used the term