În mod frecvent se vorbește despre operații pe anumite mulțimi. De exemplu, operația de scădere a numerelor întregi este un procedeu prin care perechii de numere întregi i se asociază numărul întreg . Este important să se considere perechea sau mulțimea ordonată (x,y) și nu mulțimea {x,y}, deoarece contează ordinea în care apar x și y. De exemplu, perechiii (y,x) îi corespunde prin această operație numărul , care în general diferă de x-y.

Generalizând, fie M o mulțime nevidă. Se numește lege de compoziție internă (sau operație algebrică) pe mulțimea M orice funcție definită pe M × M cu valori în M:

care asociază fiecărei perechi un element unic . Elementul se citește x compus cu y.

O operație algebrică poate fi notată prin mai multe simboluri, de exemplu, etc.

Cuprins

Exemple de operații algebriceModificare

  • Adunarea pe mulțimea  :
 
  • Scăderea pe mulțimea  :
 
  • Înmulțirea pe mulțimea  :
 
  • Adunarea pe mulțimea de matrici  :
 

Părți stabile față de operația *Modificare

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Prin definiție, o submulțime nevidă   se numește parte stabilă (inchisă) a lui M față de operația * dacă:

 

În acest caz restricția operației * la submulțimea H, adică funcția   se numește operație pe H indusă de operația * de pe M.

Cele două operații pe M și pe H au fost notate diferit deoarece ele nu sunt egale ca funcții.

Exemple de părți stabileModificare

  • Submulțimea   este o parte stabilă a lui   față de adunare, deci putem spune că adunarea pe   este indusă de adunare de pe  .
  • Submulțimea   este parte a lui   stabilă față de înmulțire deoarece produsele elementelor din H se mențin tot în H.

Proprietățile unei operațiiModificare

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Spunem că:

1° Operația * este asociativă dacă  .

2° Operația * este comutativă dacă  

3° Operația * are elementul neutru e dacă   astfel încât  .

4° Dacă operația * are elementul neutru  , spunem că un element   este simetrizabil față de operația * dacă   astfel încât   (x′ se numește simetricul lui x).

Tabla CayleyModificare

Ea este un tabel cu   linii și   coloane, unde  , liniile și coloanele fiind etichetate fiecare cu câte unul din cele   elemente ale lui  .

Tabla Cayley a operației * conține la intersecția liniei de etichetă   cu coloana de etichetă  , elementul  . 

Fie   cele n elemente ale mulțimii  , atunci forma standard a tablei Cayley este:

TABLA CAYLEY
    ...   ...  
 
...
   
...
 

Tabla Cayley asociată perechii   permite vizualizarea operației * și testarea rapidă a unor proprietăți pe care le verifică operația *. Dacă forma standard a perechii   este dată de tabla de mai sus, atunci matricea   , unde  ,  și se numește matricea asociată perechii .  Comutativitatea unei operații algebrice definită pe o mulțime finită se poate testa imediat examinând tabla sa Cayley: comutativitate ce înseamnă  ,pentru orice i,j.Adică tabla sa Cayley este simetrică față de diagonala principală.

Comentarii și exempleModificare

1° În notația aditivă (+) elementul neutru se notează cu 0 și se numește element nul, iar simetricul unui element x se notează cu -x și se numește opusul lui x. De exemplu, adunarea pe mulțimea   este asociativă, comutativă și are elementul neutru 0, iar orice element   este simetrizabil față de adunare,având simetricul -x.

2° În notația multiplicativă elementul neutru este notat cu 1 sau cu e și se numește element unitate, iar simetricul unui element x se notează cu x-1 sau cu   și se numește inversul lui x. Elementul x care are element invers se numește element inversabil. De exemplu, înmulțirea pe mulțimea   este asociativă, comutativă și are elementul neutru 1, dar singurele elemente simetrizabile în   față de înmulțire sunt 1 cu simetricul 1 și -1 cu simetricul -1, celelalte elemente nu sunt simetrizabile deoarece simetricele lor nu aparțin mulțimii  . Înmulțirea pe   este asociativă, comutativă, are elementul neutru 1 și toate elementele sunt simetrizabile, deoarece toate elementele sunt inversabile, iar inversele lor aparțin lui  .

PropozițieModificare

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Atunci:

1° Dacă operația * are elementul neutru  , acesta este unic determinat.

2° Dacă operația * este asociativă și are elementul neutru e, iar  , este un element simetrizabil, atunci simetricul  , al lui x este unic determinat.

DemonstrațieModificare

1° Dacă   ar fi un alt element neutru , atunci  , deoarece   este element neutru, dar și  , deoarece   este element neutru, prin urmare  .

2° Dacă   ar fi un alt simetric al elementului  , atunci, ținând seama că   și   avem:  , deci  .

BibliografieModificare

CărțiModificare

  • Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2 
Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
  • Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6 
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

ArticoleModificare

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Resurse onlineModificare

Definition of commutativity and examples of commutative operations
Explanation of the term commute
Examples proving some noncommutative operations
Article giving the history of the real numbers
Page covering the earliest uses of mathematical terms
Biography of Francois Servois, who first used the term

Vezi șiModificare