Identitate (matematică)

În matematică funcția identitate, sau aplicația identitate, sau transformarea identică, este o funcție a cărei valoare este egală cu cea a [[argumentul unei funcții|argumentuluiîî. Adică, pentru ca f să fie funcția identitate, egalitatea trebuie să fie valabilă pentru orice X.

Graficul funcției identitate pe numerele reale

DefinițieModificare

Formal, dacă M este o mulțime, funcția identitate f pe M este definită ca fiind funcția cu domeniul și codomeniul M care satisface

      pentru toate elementele X din M.[1]

În alte cuvinte, valorile funcției f(X) în M (codomeniul) sunt întotdeauna aceleași cu a elementului de intrare X din M (acum considerat domeniul de definiție). Funcția identitate pe M este evident o funcție injectivă, precum și o funcție surjectivă, ca urmare este o funcție bijectivă.[2]

Funcția identitate f pe M adesea este notată idM.

În teoria mulțimilor, unde o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară, funcția identitate este dată de relația de identitate, sau diagonala lui M.[3]

Proprietăți algebriceModificare

Dacă f : MN este o funcție oarecare, atunci   exprimă o compunere a funcțiilor⁠(d). În particular, idM este elementul neutru al monoidului tuturor funcțiilor din M pe M.

Deoarece elementul neutru al monoidului este unic,[4] alternativ se poate defini funcția identitate pe M ca fiind acest element neutru. O astfel de definiție se generalizează în teoria categoriilor la conceptul unui morfism identitate, unde endomorfismul lui M nu este necesar să fie funcții.

ProprietățiModificare

NoteModificare

  1. ^ en Knapp, Anthony W. (), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9 
  2. ^ en Mapa, Sadhan Kumar (). Higher Algebra Abstract and Linear (ed. 11th). Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1. 
  3. ^ en Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society. . p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...then the diagonal set determined by M is the identity relation... 
  4. ^ en Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (). Finitely Generated Commutative Monoids. Nova Publishers. p. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique 
  5. ^ en D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519. 
  6. ^ en Anton, Howard (), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (ed. 9th), Wiley International 
  7. ^ en T. S. Shores (). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9. 
  8. ^ en James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN: 1-85233-934-9
  9. ^ en Conover, Robert A. (). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking. Courier Corporation. p. 65. ISBN 978-0-486-78001-6. 
  10. ^ en Conferences, University of Michigan Engineering Summer (). Foundations of Information Systems Engineering. we see that an identity element of a semigroup is idempotent.