Inel ordonat

inel cu o ordine totală compatibilă

În algebra abstractă un inel ordonat este un inel R (de obicei comutativ) cu o relație de ordine totală ≤ astfel încât pentru toate a, b și c din R:[1]

  • dacă ab atunci a + cb + c.
  • dacă 0 ≤ a și 0 ≤ b atunci 0 ≤ ab.
Numerele reale formează un inel ordonat care este și un corp ordonat⁠(d). Numerele întregi, o submulțime a numerelor reale, formează un inel ordonat care însă nu este și un corp ordonat.

Inelele ordonate sunt familiare din aritmetică. Câteva exemple sunt numerele întregi, numerele raționale și numerele reale.[2] (Numerele raționale și cele reale formează de fapt corpuri ordonate.) În schimb, numerele complexe nu formează un inel sau un corp ordonat, deoarece nu există o relație de ordine inerentă între elementele 1 și i.

Elemente pozitive

modificare

Prin analogie cu numerele reale, despre un element c dintr-un inel ordonat R se spune că este pozitiv dacă 0 < c și negativ dacă c < 0. 0 nu este considerat nici pozitiv, nici negativ.

Mulțimea elementelor pozitive ale unui inel ordonat R este adesea notată cu R+. O notație alternativă, favorizată în unele discipline, este folosirea notațiilor R+ pentru mulțimea de elemente nenegative și R++ pentru mulțimea elementelor pozitive.

Dacă   este un element al unui inel ordonat R, atunci modulul lui  , notat cu  , este definit astfel:

 

unde   este elementul opus al lui   iar 0 is the elementul neutru față de adunare.

Inel ordonat discret

modificare

Un inel ordonat discret este un inel ordonat în care nu există niciun element între 0 și 1. Numerele întregi formează un inel ordonat discret, dar numerele raționale nu.

Proprietăți fundamentale

modificare

Pentru toate a, b și c din R:

  • Dacă ab și 0 ≤ c, atunci acbc.[3] Această proprietate este uneori folosită pentru a defini inele ordonate în loc de a doua proprietate din definiția de mai sus.
  • |ab| = |a| |b|.[4]
  • Un inel ordonat care nu este trivial este infinit.[5]
  • Exact una dintre următoarele propoziții este adevărată: a este pozitiv, −a este pozitiv sau a = 0.[6] Această proprietate rezultă din faptul că inelele ordonate sunt grupuri abeliene total ordonate în raport cu adunarea.
  • Într-un inel ordonat, niciun element negativ nu este un pătrat:[7] În primul rând, 0 este pătrat. Acum, dacă a ≠ 0 și a = b2, atunci b ≠ 0 și a = (−b)2; deoarece fie b fie −b este pozitiv, a trebuie să fie nenegativ.

Unele note trimit la teoreme verificate formal prin proiectul IsarMathLib.

  1. ^ en Lam, Tsit Yuen (), Orderings, valuations and quadratic forms , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001 
  2. ^ en Lam, Tsit Yuen (), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (ed. 2nd), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001 
  3. ^ OrdRing_ZF_1_L9
  4. ^ OrdRing_ZF_2_L5
  5. ^ ord_ring_infinite
  6. ^ OrdRing_ZF_3_L2, v. și OrdGroup_decomp
  7. ^ OrdRing_ZF_1_L12