În matematică o aplicație biliniară este o funcție care combină elemente a două spații vectoriale pentru a produce un element al unui al treilea spațiu vectorial și este liniară în funcție de fiecare dintre argumentele sale.[1] Un exemplu de aplicație biliniară este înmulțirea matricilor.

Definiție

modificare

Spații vectoriale

modificare

Fie   și   trei spații vectoriale peste aceeași bază, corpul  . O aplicație biliniară este o funcție

 

Astfel încât pentru orice  , aplicația  

 

este o aplicație liniară din   pe   și pentru orice  , aplicația  

 

este o formă de aplicație liniară din   pe   Cu alte cuvinte, când se menține fix primul argument al aplicației biliniare în timp ce se permite celui de al doilea să varieze, rezultatul este un operator liniar, și la fel atunci când se menține fix al doilea argument.

O astfel de aplicație   satisface următoarele proprietăți.

  • Pentru orice  ,  
  • Aplicația   este aditivă pentru ambele componente: dacă   și   atunci   și  

Dacă   și există   pentru orice   atunci se spune că B este simetrică. Dacă X este corpul F al bazei, atunci aplicația este o formă biliniară, care este binecunoscută (de exemplu: produsul scalar, produsul interior și forma pătratică).

Definiția funcționează fără nicio modificare dacă în loc de spații vectoriale peste un corp F se folosesc module⁠(d) peste un inel comutativ R. Se generalizează la funcții n-are, unde termenul potrivit este multiliniar.

Pentru inelele necomutative R și S, un R-modul din stânga, M, și un S-modul din dreapta, N, o aplicație biliniară este o aplicație B : M × N → T cu T un {R, S)-bimodul și pentru care orice n din N, m ↦ B(m, n) este un homomorfism al modulului R, iar pentru orice m din M, n ↦ B(m, n) este homomorf cu modulul S. Acest lucru satisface

 
 

pentru toate m din M, n din N, r din R și s din S, precum și că B este aditiv pentru fiecare argument.

Proprietăți

modificare

O consecință imediată a definiției este că B(v, w) = 0X ori de câte ori v = 0V sau w = 0W. Acest lucru poate fi văzut scriind vectorul zero, 0V, sub forma 0 ⋅ 0V (și similar pentru 0W) și mutarea scalarului 0 „în afară”, în fața lui B.

Mulțimea L(V, W; X) tuturor aplicațiilor biliniare este un subspațiu liniar⁠(d) al spațiului (adică un spațiu vectorial, modul) al tuturor aplicațiilor din V × W în X.

Dacă V, W, X sunt finite dimensional, atunci la fel este L(V, W; X). Pentru  , adică formele biliniare, dimensiunea acestui spațiu este dim V × dim W (în timp ce spațiul L(V × W; F) din formele liniare are dimensiunea dim V + dim W). Pentru a vedea acest lucru, se alege o bază pentru V și W; atunci fiecare aplicație biliniară poate fi reprezentată în mod unic prin matricea B(ei, fj) și invers.

Acum, dacă X este un spațiu de dimensiune mai mare, este evident că dim L(V, W; X) = dim V × dim W × dim X.

  • Înmulțirea matricilor este o aplicație biliniară M(m, n) × M(n, p) → M(m, p).
  • Dacă un spațiu vectorial V peste numerele reale   are un spațiu prehilbertian, atunci produsul interior este o aplicație biliniară   Spațiul vectorial al produsului are o singură dimensiune.
  • În general, la un spațiu vectorial V peste corpul F, o formă biliniară pe V este aceeași cu aplicația biliniară V × VF.
  • Dacă V are spațiu vectorial spațiu dual⁠(d) V, atunci operatorul aplicației b(f, v) = f(v) este o aplicație biliniară V × V pe corpul bazei.
  • Fie V și W spații vectoriale pe bază a corpului F. facă f este un element al lui V iar g un element al lui W, atunci b(v, w) = f(v)g(w) definește aplicația biliniară V × WF.
  • Produsul vectorial din   este o aplicație biliniară  
  • Fie   o aplicație biliniară, iar   o aplicație liniară, atunci (v, u) ↦ B(v, Lu) este o aplicație biliniară pe V × U.
  1. ^ Mariana Gorunescu, Diferențiabilitate, Universitatea din Craiova, accesat 2023-03-23

Bibliografie

modificare
  • en Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (). Topological Vector Spaces. GTM (ed. Second). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
  • en Trèves, François () [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 

Legături externe

modificare