În algebra liniară o aplicație multiliniară este o funcție de mai multe variabile care este liniară separat în fiecare variabilă. Mai precis, o aplicație multiliniară este o funcție
f
:
V
1
×
⋯
×
V
n
→
W
,
{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
unde
V
1
,
…
,
V
n
{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
și
W
{\displaystyle W}
sunt spații vectoriale (sau module peste un inel comutativ ), cu următoarea proprietate: pentru fiecare
i
{\displaystyle i}
, dacă toate variabilele cu excepția lui
v
i
{\displaystyle v_{i}}
sunt menținute constante, atunci
f
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}
este o funcție liniară de
v
i
{\displaystyle v_{i}}
.[1]
O aplicație multiliniară de o variabilă este o aplicație liniară , iar de două variabile este o aplicație biliniară . În general, o aplicație multiliniară de k variabile se numește o aplicație k -liniară . Dacă codomeniul unei aplicații multiliniare este corpul scalarilor, se numește formă multiliniară (d ) . Aplicațiile multiliniare și formele multiliniare sunt obiecte fundamentale de studiu în algebra multiliniară .
Dacă toate variabilele aparțin aceluiași spațiu, formele pot fi simetrice, antisimetrice , sau aplicații k -liniare alternate . Acestea din urmă coincid dacă inelul subiacent (sau corpul) are o caracteristică diferită de 2, altfel primele două coincid.
Orice aplicație biliniară este o aplicație multiliniară. De exemplu, orice produs scalar dintr-un spațiu vectorial este o aplicație multiliniară, la fel ca produsul vectorial al vectorilor din
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
.
Determinantul unei matrice este o funcție multiliniară alternată a coloanelor (sau liniilor) unei matrice pătrate .
Dacă
F
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
este o funcție netedă (d ) , atunci a k -a derivată a lui F în orice punct p din domeniul său poate fi văzută ca o k -funcție liniară simetrică
D
k
F
:
R
m
×
⋯
×
R
m
→
R
n
{\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
.
Reprezentare prin coordonate
modificare
Fie
f
:
V
1
×
⋯
×
V
n
→
W
,
{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
o aplicație multiliniară în spațiile vectoriale finit dimensionale
V
i
{\displaystyle V_{i}\!}
cu dimensiunea
d
i
{\displaystyle d_{i}\!}
și
W
{\displaystyle W\!}
un spațiu cu dimensiunea
d
{\displaystyle d\!}
. Dacă se alege baza
{
e
i
1
,
…
,
e
i
d
i
}
{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}
pentru fiecare
V
i
{\displaystyle V_{i}\!}
și baza
{
b
1
,
…
,
b
d
}
{\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}
pentru
W
{\displaystyle W\!}
(folosind caractere grase pentru vectori), atunci se poate defini o colecție de scalari
A
j
1
⋯
j
n
k
{\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}
prin
f
(
e
1
j
1
,
…
,
e
n
j
n
)
=
A
j
1
⋯
j
n
1
b
1
+
⋯
+
A
j
1
⋯
j
n
d
b
d
.
{\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}
Atunci scalarii
{
A
j
1
⋯
j
n
k
∣
1
≤
j
i
≤
d
i
,
1
≤
k
≤
d
}
{\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}
determină complet funcția multiliniară
f
{\displaystyle f\!}
. În particular, dacă
v
i
=
∑
j
=
1
d
i
v
i
j
e
i
j
{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}
pentru
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n\!}
, atunci
f
(
v
1
,
…
,
v
n
)
=
∑
j
1
=
1
d
1
⋯
∑
j
n
=
1
d
n
∑
k
=
1
d
A
j
1
⋯
j
n
k
v
1
j
1
⋯
v
n
j
n
b
k
.
{\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}
Fie forma triliniară
g
:
R
2
×
R
2
×
R
2
→
R
,
{\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}
unde Vi = R 2 , di = 2, i = 1,2,3 , iar W = R , d = 1 .
O bază pentru orice Vi este
{
e
i
1
,
…
,
e
i
d
i
}
=
{
e
1
,
e
2
}
=
{
(
1
,
0
)
,
(
0
,
1
)
}
.
{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}
Fie
g
(
e
1
i
,
e
2
j
,
e
3
k
)
=
f
(
e
i
,
e
j
,
e
k
)
=
A
i
j
k
,
{\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}
unde
i
,
j
,
k
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}
. Cu alte cuvinte, constanta
A
i
j
k
{\displaystyle A_{ijk}}
este o valoare a funcției în unul dintre cele opt triplete posibile ale vectorilor bazei (deoarece există două opțiuni pentru fiecare dintre cei trei
V
i
{\displaystyle V_{i}}
), și anume:
{
e
1
,
e
1
,
e
1
}
,
{
e
1
,
e
1
,
e
2
}
,
{
e
1
,
e
2
,
e
1
}
,
{
e
1
,
e
2
,
e
2
}
,
{
e
2
,
e
1
,
e
1
}
,
{
e
2
,
e
1
,
e
2
}
,
{
e
2
,
e
2
,
e
1
}
,
{
e
2
,
e
2
,
e
2
}
.
{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}
Orice vector
v
i
∈
V
i
=
R
2
{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}
poate fi exprimat printr-o combinație liniară a vectorilor bazei
v
i
=
∑
j
=
1
2
v
i
j
e
i
j
=
v
i
1
×
e
1
+
v
i
2
×
e
2
=
v
i
1
×
(
1
,
0
)
+
v
i
2
×
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}
Valoarea funcției pentru o colecție arbitrară de trei vectori
v
i
∈
R
2
{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}
poate fi exprimată prin
g
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
=
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
2
∑
k
=
1
2
A
i
j
k
v
1
i
v
2
j
v
3
k
.
{\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.}
Sau, în formă dezvoltată
g
(
(
a
,
b
)
,
(
c
,
d
)
,
(
e
,
f
)
)
=
a
c
e
×
g
(
e
1
,
e
1
,
e
1
)
+
a
c
f
×
g
(
e
1
,
e
1
,
e
2
)
+
a
d
e
×
g
(
e
1
,
e
2
,
e
1
)
+
a
d
f
×
g
(
e
1
,
e
2
,
e
2
)
+
b
c
e
×
g
(
e
2
,
e
1
,
e
1
)
+
b
c
f
×
g
(
e
2
,
e
1
,
e
2
)
+
b
d
e
×
g
(
e
2
,
e
2
,
e
1
)
+
b
d
f
×
g
(
e
2
,
e
2
,
e
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}
Relația cu produsele tensoriale
modificare
Există o corespondență naturală biunivocă între aplicațiile multiliniare
f
:
V
1
×
⋯
×
V
n
→
W
,
{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
și aplicațiile liniare
F
:
V
1
⊗
⋯
⊗
V
n
→
W
,
{\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}
unde prin
V
1
⊗
⋯
⊗
V
n
{\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}
este notat produsul tensorial (d ) al
V
1
,
…
,
V
n
{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
. Relația dintre funcțiile
f
{\displaystyle f\!}
și
F
{\displaystyle F\!}
este dată de formula
f
(
v
1
,
…
,
v
n
)
=
F
(
v
1
⊗
⋯
⊗
v
n
)
.
{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}
Funcții multiliniare pe matrici n ×n
modificare
Se pot considera funcțiile multiliniare pe o matrice n ×n peste un inel comutativ K cu element neutru, ca fiind funcții pe liniile (sau coloanele) matricei. Fie A o astfel de matrice, iar ai , 1 ≤ i ≤ n rândurile ei. Atunci funcția multiliniară D poate fi scrisă
D
(
A
)
=
D
(
a
1
,
…
,
a
n
)
,
{\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}
satisfăcând relația
D
(
a
1
,
…
,
c
a
i
+
a
i
′
,
…
,
a
n
)
=
c
D
(
a
1
,
…
,
a
i
,
…
,
a
n
)
+
D
(
a
1
,
…
,
a
i
′
,
…
,
a
n
)
.
{\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}
Dacă
e
^
j
{\displaystyle {\hat {e}}_{j}}
reprezintă a j -lea linie a matricei unitate , se poate exprima fiecare linie ai ca suma
a
i
=
∑
j
=
1
n
A
(
i
,
j
)
e
^
j
.
{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}
Folosind multiliniaritatea lui D se poate rescrie D (A ) sub forma
D
(
A
)
=
D
(
∑
j
=
1
n
A
(
1
,
j
)
e
^
j
,
a
2
,
…
,
a
n
)
=
∑
j
=
1
n
A
(
1
,
j
)
D
(
e
^
j
,
a
2
,
…
,
a
n
)
.
{\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}
Continuând această substituție pentru toate valorile lui ai se obține pentru 1 ≤ i ≤ n ,
D
(
A
)
=
∑
1
≤
k
1
≤
n
…
∑
1
≤
k
i
≤
n
…
∑
1
≤
k
n
≤
n
A
(
1
,
k
1
)
A
(
2
,
k
2
)
…
A
(
n
,
k
n
)
D
(
e
^
k
1
,
…
,
e
^
k
n
)
.
{\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}
Prin urmare D (A ) este determinată unic prin modul cum operează D pe
e
^
k
1
,
…
,
e
^
k
n
{\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}
.
În cazul matricilor 2×2 se obține
D
(
A
)
=
A
1
,
1
A
1
,
2
D
(
e
^
1
,
e
^
1
)
+
A
1
,
1
A
2
,
2
D
(
e
^
1
,
e
^
2
)
+
A
1
,
2
A
2
,
1
D
(
e
^
2
,
e
^
1
)
+
A
1
,
2
A
2
,
2
D
(
e
^
2
,
e
^
2
)
{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})}
unde
e
^
1
=
[
1
,
0
]
{\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}
și
e
^
2
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}
. Dacă se restricționează
D
{\displaystyle D}
să fie o funcție alternată, atunci
D
(
e
^
1
,
e
^
1
)
=
D
(
e
^
2
,
e
^
2
)
=
0
{\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}
și
D
(
e
^
2
,
e
^
1
)
=
−
D
(
e
^
1
,
e
^
2
)
=
−
D
(
I
)
{\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}
. Cu
D
(
I
)
=
1
{\displaystyle D(I)=1}
se obține determinantul matricilor 2×2:
D
(
A
)
=
A
1
,
1
A
2
,
2
−
A
1
,
2
A
2
,
1
.
{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}
O aplicație multiliniară are valoarea zero ori de câte ori unul dintre argumentele sale este zero.