Funcție liniară

În matematică termenul funcție liniară se referă la două noțiuni diferite, dar înrudite:^[1]

În calculul infinitezimal și în domeniile conexe, o funcție liniară este o funcție al cărei grafic este o dreaptă, adică o funcție polinomială de grad zero sau unu.^[2] Pentru a deosebi o astfel de funcție liniară de celălalt concept, adesea se folosește termenul de funcție afină.^[3]
În algebra liniară, analiza matematică,^[4] și analiza funcțională o funcție liniară este o transformare liniară.^[5]

Ca funcție polinomială

Graficul a două funcții liniare.

În calculul infinitezimal, geometria analitică și domeniile înrudite, o funcție liniară este un polinom de gradul întâi sau mai mic, inclusiv polinomul zero (cel din urmă nefiind considerat a avea gradul zero).

Când funcția este de o singură variabilă, este de forma

f(x)=ax+b,

unde $a$ și $b$ sunt constante, adesea numere reale. Graficul unei astfel de funcții de o variabilă este o dreaptă neverticală. $a$ este frecvent denumită „panta” dreptei, iar $b$ ca „ordonata la origine” (în engleză intercept).^[6]

Când $x$ crește, dacă $a$ > 0, atunci panta este pozitivă, iar graficul urcă. Dacă $a$ < 0, atunci panta este negativă, iar graficul coboară.

Pentru o funcție $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$ de oricâte variabile (dar în număr finit), formula generală este

f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},

iar graficul este un hiperplan de dimensiunea $k$ .

O funcție constantă este de asemenea considerată liniară în acest context, deoarece este un polinom de grad zero sau este polinomul zero. Graficul său, când există o singură variabilă, este o dreaptă orizontală.

În acest context, o funcție care este și o transformare liniară (cealaltă semnificație) poate fi denumită funcție liniară omogenă^⁠(d) sau o formă liniară^⁠(d). În contextul algebrei liniare, funcțiile polinomiale de gradul 0 sau 1 sunt transformări afine^⁠(d) cu valori scalare.

Ca transformare liniară

Articol principal: Transformare liniară.

Integrala unei funcții este o transformare liniară de la spațiul vectorial al funcțiilor integrabile la numerele reale

În algebra liniară o funcție liniară este o aplicație $f$ între două spații vectoriale astfel încât

f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )

f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).

Aici cu $a$ este notată o constantă din corpul $K$ al scalarilor (de exemplu numerele reale), iar $x$ și $y$ sunt elemente ale unui spațiu vectorial, care ar putea fi chiar $K$ .

Alfel spus, funcția liniară conservă adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar.

Unii autori folosesc denumirea de „funcție liniară” doar pentru aplicațiile liniare care iau valori în corpul scalarilor;^[7] acestea sunt de obicei numite forme liniare^⁠(d).

„Funcțiile liniare” din calculul infinitezimal se califică drept „transformări liniare” dacă și numai dacă $f (0, ..., 0) = 0$ sau, echivalent, atunci când constanta $b$ este egală cu zero în polinomul descris mai sus. Geometric, graficul funcției trebuie să treacă prin origine.

Note

^ en Vaserstein 2006, p. 50-1: "The term linear function means a linear form in some textbooks and an affine function in others."
^ Stewart, 2012, p. 23
^ en A. Kurosh (1975). Higher Algebra. Mir Publishers. p. 214.
^ en T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 345.
^ Shores 2007, p. 71
^ Daniela Marian, Noțiuni teoretice, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-06-17
^ Gelfand, 1961

Bibliografie

en Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN: 0-486-66082-6
en Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN: 0-387-33195-6
en James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN: 978-0-538-49790-9
en Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN: 1-584-88510-6

Portal Matematică

[1] Vaserstein 2006, p. 50-1: "The term linear function means a linear form in some textbooks and an affine function in others."

[2] Stewart, 2012, p. 23

[3] A. Kurosh (1975). Higher Algebra. Mir Publishers. p. 214.

[4] T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 345.

[5] Shores 2007, p. 71

[DM-6] Daniela Marian, Noțiuni teoretice, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-06-17

[7] Gelfand, 1961

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]