Funcție algebrică de gradul întâi

Funcția de gradul întâi este o funcție algebrică elementară, exprimată printr-o expresie algebrică binom de gradul întâi.

Noțiuni introductive

Definiție

Fie o funcție $f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a,b\in \Re \;$ , aceasta se numește funcție afină. Dacă $a\neq \;0,$ atunci $\ f$ se numește funcție de gradul întâi de coeficienți $\ a,b$. Dacă $a\neq \;0,b=0$ atunci $\ f$ se numește funcție liniară $\ (f(x)=ax)$ . Dacă $\ a=0$ atunci $\ f$ se numește funcție constantă $\ (f(x)=b).$

Pentru funcția de gradul întâi, $\ ax$ se numește termenul de gradul întâi , iar $\ b$ , termenul liber al funcției. O ecuație de forma $\ ax+b=0$ se numește ecuația atașată funcției $\ f.$

Observații

1. Funcția $f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a\neq \;0$ se numește funcția de gradul întâi deoarece este funcția asociată polinomului de gradul întâi cu coeficienți reali $\ ax+b$ .
2. Funcția de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienții $a,b\in \Re \;$.

Exemple

1. Funcția $f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=-3x+{\sqrt {5}}$ este funcție de gradul întâi cu coeficienții $a=-3,b={\sqrt {5}}$.
2. Funcția $f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=4x$ este funcție liniară cu $\ a=4,$ $\ b=0$.
3. Funcția $f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=3$ este funcție constantă când $\ a=0,$ $\ b=3$.

Monotonia funcției de gradul întâi

Relativ la monotonia acestei funcții are loc următoarea teoremă:

Teoremă

Funcția de gradul întâi $f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a\neq \;0$ este:

1. strict crescătoare dacă $a>\;0,$ iar tabelul de variație a funcției este:

$x$	$-\infty \qquad \quad +\infty$
$f(x)$	$-\infty \nearrow \;\nearrow \;+\infty$

2. strict descrescătoare dacă $a<\;0,$ iar tabelul de variație a funcției este:

$x$	$-\infty \qquad \quad +\infty$
$f(x)$	$-\infty \searrow \;\searrow \;+\infty$

Demonstrație

Pentru a proba monotonia funcției se va utiliza rata creșterii (descreșterii) lui $f$, $R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {ax_{2}+b-(ax_{1}+b)}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=a$ pentru $x_{1}\neq \;x_{2}$ . Dacă $a>\;0$ atunci $\ f$ este strict crescătoare, iar dacă $a<\;0,$, atunci $\ f$ este strict descrescătoare.

Observații

1. Semnul lui $\ a$ precizează monotonia funcției de gradul întâi.
2. Ecuația $\ y=ax+b$ reprezintă o dreaptă de pantă $a\neq \;0$ (o dreaptă oblică neparalelă cu axa $\ Ox$ sau cu axa $\ Oy$ ).

Bibliografie

1. "Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, I.V.Maftei, A.V.Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004
2. "Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008