Noțiuni introductive
modificare
Fie o funcție
f
:
ℜ
→
ℜ
,
f
(
x
)
=
a
x
+
b
,
a
,
b
∈
ℜ
{\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a,b\in \Re \;}
funcție afină. Dacă
a
≠
0
,
{\displaystyle a\neq \;0,}
f
{\displaystyle \ f}
funcție de gradul întâi de coeficienți
a
,
b
{\displaystyle \ a,b}
a
≠
0
,
b
=
0
{\displaystyle a\neq \;0,b=0}
f
{\displaystyle \ f}
funcție liniară
(
f
(
x
)
=
a
x
)
{\displaystyle \ (f(x)=ax)}
a
=
0
{\displaystyle \ a=0}
f
{\displaystyle \ f}
(
f
(
x
)
=
b
)
.
{\displaystyle \ (f(x)=b).}
Pentru funcția de gradul întâi,
a
x
{\displaystyle \ ax}
termenul de gradul
întâi , iar
b
{\displaystyle \ b}
termenul liber al funcției.
O ecuație de forma
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle \ ax+b=0}
ecuația atașată funcției
f
.
{\displaystyle \ f.}
Funcția
f
:
ℜ
→
ℜ
,
f
(
x
)
=
a
x
+
b
,
a
≠
0
{\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a\neq \;0}
a
x
+
b
{\displaystyle \ ax+b}
Funcția de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienții
a
,
b
∈
ℜ
{\displaystyle a,b\in \Re \;}
Funcția
f
:
ℜ
→
ℜ
,
f
(
x
)
=
−
3
x
+
5
{\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=-3x+{\sqrt {5}}}
a
=
−
3
,
b
=
5
{\displaystyle a=-3,b={\sqrt {5}}}
Funcția
f
:
ℜ
→
ℜ
,
f
(
x
)
=
4
x
{\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=4x}
a
=
4
,
{\displaystyle \ a=4,}
b
=
0
{\displaystyle \ b=0}
Funcția
f
:
ℜ
→
ℜ
,
f
(
x
)
=
3
{\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=3}
a
=
0
,
{\displaystyle \ a=0,}
b
=
3
{\displaystyle \ b=3}
Monotonia funcției de gradul întâi
modificare
Relativ la monotonia acestei funcții are loc următoarea teoremă:
Funcția de gradul întâi
f
:
ℜ
→
ℜ
,
f
(
x
)
=
a
x
+
b
,
a
≠
0
{\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a\neq \;0}
1. strict crescătoare dacă
a
>
0
,
{\displaystyle a>\;0,}
x
{\displaystyle x}
−
∞
+
∞
{\displaystyle -\infty \qquad \quad +\infty }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
−
∞
↗
↗
+
∞
{\displaystyle -\infty \nearrow \;\nearrow \;+\infty }
2. strict descrescătoare dacă
a
<
0
,
{\displaystyle a<\;0,}
x
{\displaystyle x}
−
∞
+
∞
{\displaystyle -\infty \qquad \quad +\infty }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
−
∞
↘
↘
+
∞
{\displaystyle -\infty \searrow \;\searrow \;+\infty }
Pentru a proba monotonia funcției se va utiliza rata creșterii (descreșterii) lui
f
{\displaystyle f}
R
(
x
1
,
x
2
)
=
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
x
2
−
x
1
=
a
x
2
+
b
−
(
a
x
1
+
b
)
x
2
−
x
1
=
a
(
x
2
−
x
1
)
x
2
−
x
1
=
a
{\displaystyle R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {ax_{2}+b-(ax_{1}+b)}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=a}
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq \;x_{2}}
a
>
0
{\displaystyle a>\;0}
f
{\displaystyle \ f}
a
<
0
,
{\displaystyle a<\;0,}
f
{\displaystyle \ f}
Semnul lui
a
{\displaystyle \ a}
Ecuația
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle \ y=ax+b}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq \;0}
dreaptă oblică neparalelă cu axa
O
x
{\displaystyle \ Ox}
O
y
{\displaystyle \ Oy}
"Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, I.V.Maftei, A.V.Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004
"Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008
