Binom

În algebră un binom (pl. binoame) este un polinom care este sumă a doi termeni, dintre care fiecare este un monom.

Definiție

Un binom este un polinom care este suma a două monoame. Un binom cu o singură variabilă nedeterminată poate fi scris sub forma

$ax^{m}-bx^{n},$

unde a și b sunt numere, iar m și n sunt întregi nenegativi distincți, iar x este un simbol care notează valoarea nedeterminată, numită din motive istorice „variabilă”. În contextul polinoamelor Laurent, un „binom Laurent”, adesea numit, simplu, „binom” este definit similar, dar exponenții m și n pot fi negativi.

În general, un binom se poate scrie drept:

$a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$

Exemple

$3x-2x^{2}$

$xy+yx^{2}$

$0,9x^{3}+\pi y^{2}$

$2x^{3}+7$

Operații cu binoame simple

• Binomul x² − y² poate fi factorizat^⁠(d)ca un produs de alte binoame:

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).$

Acesta este un caz particular al unei egalități mai generale:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}.$

Când se lucrează cu numere complexe, aceasta poate fi extinsă la:

$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).$

• Produsul unei perechi de binoame liniare (ax + b) și (cx + d ) este un trinom:

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

• Un binom ridicat la puterea n, reprezentat ca (x + y)ⁿ, poate fi dezvoltat cu ajutorul binomului lui Newton, sau, echivalent, folosind triunghiul lui Pascal. De exemplu, pătratul (x + y)² din binomul (x + y) este egal cu suma pătratelor celor doi termeni și de două ori produsul termenilor, adică:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

Numerele (1, 2, 1) care apar drept coeficienți ai termenilor din această dezvoltare sunt coeficienții binomiali din al treilea rând al triunghiului lui Pascal. Creșterea exponentului n duce la utilizarea numerelor dn al n+1-lea rând al triunghiului.

• O aplicație a formulei de mai sus pentru pătratul unui binom este „formula (m, n)” pentru generarea tripletelor pitagoreice:

Pentru m < n, fie a = n² − m², b = 2mn și c = n² + m²; atunci a² + b² = c².

• Binoamele care sunt sume sau diferențe de cuburi pot fi factorizate în polinoame de grad mai mic cu relațiile:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

Bibliografie

• en Bostock, L.; Chandler, S. (1978). Pure Mathematics 1. Oxford University Press. p. 36. ISBN 0-85950-092-6.