Coeficient binomial
În matematică, coeficienții binomiali sunt coeficienții întregi care apar pe lângă termenii din dezvoltarea binomului lui Newton:
Spre exemplu, pentru , deoarece
avem , , , , și Aranjate într-un tablou, acești coeficienți formează triunghiul lui Pascal.
k = 0 | k = 1 | k = 2 | k = 3 | k = 4 | k = 5 | ... | |
n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Coeficientul binomial este egal cu numărul de k-combinări de n elemente, adică cu numărul de moduri de a lua k elemente distincte printre n, fără ordine. Din acest motiv, notația se citește „n luate câte k”.
Coeficienții binomiali pot fi exprimați compact cu numere factoriale, drept
unde este numărul „factorial n”.
Coeficienții binomiale au un rol important în multe ramuri ale matematicii, mai ales în combinatorică și în domenii legate.
Notații
modificareNotația cea mai comună pentru coeficientul binomial „n luate câte k” este notația introdusă de matematicianul austriac Andreas von Ettingshausen în 1826. [necesită citare] Însă, există și notația
care istoric a fost mai comună în lumea francofonă și rusofonă.
Ambele notații sunt listate în standardul ISO 80000-2.[necesită citare]
Proprietății
modificareO proprietate importantă a coeficienților binomiali este formula lui Pascal: pentru orice și întregi,
Această formulă rămâne valabilă pentru , deoarece