Binomul lui Newton

În algebra elementară, binomul lui Newton este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită putere cu exponent natural a unui binom:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\mathbf {C} _{n}^{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^{k}$

$(x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot \mathbf {C} _{n}^{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^{k}$

$\mathbf {C} _{n}^{k}$ poate apărea scris și astfel: ${n \choose k}$ (coeficient binomial)

Binomul lui Newton era cunoscut cu secole înainte de Newton de gânditorii arabi ca Al-Kashi și Omar Haiam.

Generalizare

Prin 1665, Isaac Newton generalizează formula puterii binomului arătând valabilitatea pentru puteri cu exponent orice număr real, nu numai natural. În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită cu numele de serie binomială.

Pentru aceasta se definește simbolul lui Pochhammer $(\cdot )_{k}$ prin relația:

${r \choose k}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$

Astfel, dacă x, y sunt numere reale cu proprietatea |x| > |y|:

${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$

Exemplu

Se pot calcula radicali din sume, ca mai jos, printr-o transformare necesară pentru convergență:

$(3+x)^{-1/2}=3^{-1/2}\left(1+{\frac {1}{3}}x\right)^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{24}}x^{2}-{\frac {5}{432}}x^{3}+\cdots \right)$

Seria este convergentă pentru $|x|<3.$

Folosire în demonstrații

Binomul lui Newton poate fi folosit la stabilirea formulei binomiale care definește valoarea numărului e și legătura cu suma inverselor factorialelor.

Poate fi folosit și pentru a demonstra inegalitatea lui Bernoulli.

Binomul cu exponenți fracționari (numere raționale) permite rezolvarea unor ecuații exponențiale unde exponentul fracționar se aplică sumei și nu unui singur număr luat ca bază a puterii.

Bibliografie

• N. N. Mihăileanu, Istoria matematicii. Antichitatea și evul mediu, vol I-II, Editura Enciclopedică Română, 1974, 1981
• A-A.(P.) Iușchevici, Istoria matematicii în evul mediu, Editura Stiințifică, 1963
• Heinrich Wieleitner Istoria matematicii de la Descartes până la jumătatea secolului al XIX-lea, Editura Stiințifică, București, 1964

Vezi și

• Coeficient binomial
• Teorema multinomială
• Serie binomială
• Radical (matematică)