Deschide meniul principal

Inegalitatea lui Bernoulli

Graficele funcțiilor
 , în roșu
 , în albastru.
S-a luat  

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

EnunțModificare

Dacă  ,   cu    și    ,   atunci:

  .

DemonstrațieModificare

Cazul  Modificare

Se aplică metoda inducției complete.

Pentru  , inegalitatea este echivalentă    , ceea ce este evident.

Să presupunem că inegalitatea se verifică pentru   și să demonstrăm că acest lucru implică valabilitatea și pentru  .

Din   rezultă

 

și aceasta deoarece  .

 

 

    .

Cum însă  

(  deoarece    )

rezultă

 

așadar, propoziția este valabilă și pentru  

Cazul  Modificare

În acest caz, se va face apel la noțiunea de derivată.

GeneralizareModificare

AplicațiiModificare

BibliografieModificare

  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Vezi șiModificare

Legături externeModificare