Inegalitatea lui Bernoulli

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Graficele funcțiilor
 , în roșu
 , în albastru.
S-a luat  

EnunțModificare

Dacă  ,   cu    și    ,   atunci:

  .

DemonstrațieModificare

Cazul  Modificare

Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.

Pentru  , inegalitatea este echivalentă    , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.

Presupunând că inegalitatea se verifică pentru   se demonstrează valabilitatea și pentru  . Acesta este pasul inductiv al metodei.

Din   rezultă

 

și aceasta deoarece  .

 

 

    .

Cum însă  

(  deoarece    )

rezultă

 

așadar, propoziția este valabilă și pentru  

Cazul  Modificare

În acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.

GeneralizareModificare

AplicațiiModificare

BibliografieModificare

  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Vezi șiModificare

Legături externeModificare