Inegalitatea lui Bernoulli
Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.
Enunț
modificareDacă , cu și , atunci:
- .
Demonstrație
modificareCazul
modificareSe aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.
Pentru , inegalitatea este echivalentă , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.
Presupunând că inegalitatea se verifică pentru se demonstrează valabilitatea implicației și pentru . Acesta este pasul inductiv al metodei.
Din rezultă
și aceasta deoarece .
.
Cum însă
( deoarece )
rezultă
așadar, propoziția este valabilă și pentru
Cazul
modificareÎn acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.
Generalizare
modificareAplicații
modificareBibliografie
modificare- Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
- Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974