Inegalitatea lui Bernoulli

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Graficele funcțiilor
$y=(1+x)^{r}\,$  , în roșu
$y=1+rx\,$  , în albastru.
S-a luat   $r=3\,$

Enunț

Dacă $x,r\in \mathbb {R}$,   cu  $x\geq -1$ și   $r\geq 1$,   atunci:

$(1+x)^{r}\geq 1+rx$ .

Demonstrație

Cazul $r\in \mathbb {Z}$

Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.

Pentru $r=0\,$, inegalitatea este echivalentă $1\geq 1$  , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.

Presupunând că inegalitatea se verifică pentru $r=n\,$ se demonstrează valabilitatea și pentru $r=n+1\,$. Acesta este pasul inductiv al metodei.

Din $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ rezultă

$(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)$

și aceasta deoarece $(1+x)\geq 0$.

$\iff$

$(1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}$

$\iff$ $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}$ .

Cum însă $1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x$

(  deoarece $nx^{2}\geq 0$  )

rezultă

$(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$

așadar, propoziția este valabilă și pentru $r=n+1\,$

Cazul $r\in \mathbb {R}$

În acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.

Bibliografie

• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Legături externe

• en Inegalitatea la MathWorld^{[nefuncțională]}
• en Inegalitatea la PlanetMath.org^{[nefuncțională]}