Inducţia matematică poate fi asemănată efectului căderii pieselor de domino.

Inducția matematică ("raționamentul prin recurență" sau "inducția completă") este o modalitate de demonstrație utilizată în matematică pentru a stabili dacă o anumită propoziție este valabilă pentru toate numerele naturale.

Cuprins

IstoricModificare

Primele semne de utilizare a acestei metode pot fi găsite în demonstrația lui Euclid care încearcă să arate că numărul numerelor prime este infinit.[1][2]

În cadrul matematicii indiene, găsim o metodă similară la matematicianul Bhaskara, așa-numita metodă "chakravala".[3]

În jurul anului 1000 d.Hr., regăsim, la matematicianul persan Al-Karaji[4] (c.953 - c.1029), aplicarea metodei inducției la determinarea coeficienților binomiali (la ceea ce mai târziu avea să se numească binomul lui Newton), la studiul triunghiului lui Pascal.

Matematicianul islamic Ibn Al-Haytham (965 - 1039) aplică această metodă la calculul unor puteri integrale.

Musulmanul Al-Maghribī al-Samaw'al (c.1130 - c.1180) utilizează inducția, într-o formă asemănătoare celei moderne, ducând mai departe studiile lui Al-Karaji privind triunghiul lui Pascal.

Prima expunere cu adevărat riguroasă a principiului inducției apare la matematicianul italian Francesco Maurolico (1494 - 1575).[5] Acesta, în lucrarea Arithmeticorum libri duo (1575), demonstrează că suma primelor n numere impare este .

Principiul inducției complete a fost descoperit și de Jakob Bernoulli (1713), Pascal (1653) și Fermat.

DescriereModificare

Demonstrația prin inducție că propoziția   pentru orice   se compune din doi pași:

  1. Cazul inițial: demonstrarea faptului că propoziția este valabilă pentru   .
  2. Pasul de inducție: Se dovedește că, pentru orice   natural,   implică  .

ExempleModificare

Exemplul 1Modificare

Să demonstrăm formula utilizată pentru suma primelor n numere naturale:

 
  • Inițializare:
pentru      avem:     .

Formula este verificată în cazul inițial.

  • Iterare:

Trebuie să arătăm că, dacă formula este valabilă pentru   , atunci este valabilă și pentru    .

Să presupunem formula valabilă pentru   :

  .

Adăugând la ambii membri   , obținem:

  .

Calculând, obținem:

 .

Astfel am arătat că:

  .

Exemplul 2Modificare

Să calculăm suma primelor numere impare:

 
 
 
 .


 .

Ajungem la presupunerea: Suma primelor numere impare, de la 1 până la   este  ,   adică:

  .

Pentru a dovedi acest lucru prin metoda inducției complate, trebuie să demonstrăm că:

1.  
2. Dacă   , atunci  .

Primul punct e simplu de dovedit. Pentru cel de-al doilea folosim identitățile:

  .

NoteModificare

  1. ^ (1994) "Could the Greeks Have Used Mathematical Induction? Did They Use It?" Physis XXXI. p. 253-265.
  2. ^ Ungure, S. (1991) "Greek Mathematics and Mathematical Induction" Physis XXVIII, p. 273-289.
  3. ^ Metoda consta într-un algoritm ciclic de rezolvare a ecuațiilor pătratice nedeterminate.
  4. ^ Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Science 6, p. 237-248. Vezi și
  5. ^ Vezi The Maurolico Project

Vezi șiModificare

Legături externeModificare