Analiza funcțională este o ramură a analizei matematice al cărei nucleu este format din studiul spațiilor vectoriale înzestrate cu un tip de structură legată de limită (de exemplu produs scalar, normă sau topologie) și funcțiile liniare definite pe aceste spații ce respectă aceste structuri. Rădăcinile istorice ale analizei funcționale se află în studiul spațiilor de funcții și formularea proprietăților transformărilor de funcții precum transformata Fourier ca transformări care definesc, de exemplu, operatori continui sau unitari între spații de funcții. Acest punct de vedere s-a dovedit a fi deosebit de util pentru studiul ecuațiilor diferențiale și integrale.

Unul dintre modurile posibile de vibrație a unui cap de tobă circular ideal. Aceste moduri sunt funcții proprii ale unui operator liniar pe un spațiu funcțional, o construcție uzuală în analiza funcțională.

Utilizarea cuvântului funcțională ca substantiv provine din calculul variațional, însemnând o funcție al cărei argument este o funcție. Termenul a fost folosit pentru prima dată în cartea lui Hadamard din 1910 despre acest subiect. Cu toate acestea, conceptul general de funcțională a fost introdus anterior în 1887 de către matematicianul și fizicianul italian Vito Volterra.[1][2] Teoria funcționalelor neliniare a fost continuată de studenții lui Hadamard, în particular Fréchet și Lévy. Hadamard a fondat și școala modernă de analiză funcțională liniară dezvoltată în continuare de Riesz și de grupul de matematicieni polonezi din cercul lui Stefan Banach.

În textele introductive moderne de analiză funcțională, subiectul este văzut drept studiul spațiilor vectoriale înzestrate cu o topologie, în particular spații infinit dimensionale.[3][4] În contrast, algebra liniară se ocupă în principal cu spații finit dimensionale și nu utilizează topologia. O parte importantă a analizei funcționale este extinderea teoriilor legate de măsură, integrare și probabilitate la spații infinit dimensionale, cunoscută și sub denumirea de analiză infinit dimensională.

Spații vectoriale normate

modificare

Clasa fundamentală și primordială de spații studiată în analiza funcțională constă în spații vectoriale normate complete peste corpul numerelor reale sau complexe. Aceste spații se numesc spații Banach. Un exemplu important este un spațiu Hilbert, unde norma ia naștere dintr-un produs scalar. Aceste spații sunt de o importanță fundamentală în multe domenii, incluzând formularea matematică a mecanicii cuantice, învățarea automată, ecuațiile cu derivate parțiale și analiza Fourier.

Mai general, analiza funcțională include studiul spațiilor Fréchet și al altor spații vectoriale topologice neînzestrate cu o normă.

Un obiect important de studiu în analiza funcțională îl reprezintă operatorii liniari continui definiți pe spațiile Banach și Hilbert. Aceștia conduc în mod natural la definirea C*-algebrelor și a altor algebre de operatori.

Spații Hilbert

modificare

Spațiile Hilbert pot fi complet clasificate: există un unic spațiu Hilbert până la izomorfism pentru fiecare cardinal al bazei ortonormate.[5] Spațiile Hilbert finit dimensionale sunt pe deplin înțelese în algebra liniară, iar spațiile Hilbert separabile infinit dimensionale sunt izomorfe cu  . Separabilitatea fiind importantă pentru aplicații, analiza funcțională a spațiilor Hilbert se ocupă în mare parte de acest spațiu. Una dintre problemele deschise în analiza funcțională este aceea de a demonstra că orice operator liniar mărginit pe un spațiu Hilbert are un subspațiu invariant propriu. Multe cazuri speciale ale acestei probleme de subspațiu invariante au fost deja demonstrate.

Spații Banach

modificare

Exemple de spații Banach sunt spațiile   pentru orice număr real  . Fiind dată și o măsură   pe mulțimea  , atunci  , uneori notat de asemenea   sau  , are ca vectori clase de echivalență   de funcții măsurabile a căror putere a  -a a valorii absolute are integrală finită; adică funcții   pentru care are loc  Dacă   este măsura de numărare, atunci integrala poate fi înlocuită cu o sumă. Adică se impune  Atunci nu este necesar să se lucreze cu clase de echivalență, iar spațiul este notat cu  , scris mai simplu   în cazul în care   este mulțimea numerelor întregi nenegative.

În spațiile Banach, o mare parte a studiului implică spațiul dual: spațiul tuturor aplicațiilor liniare continue din spațiu în corpul său subiacent, așa-numitele funcționale. Un spațiu Banach poate fi identificat în mod canonic cu un subspațiu al bidualului său, care este dualul spațiului său dual. Aplicația corespunzătoare este o izometrie, dar în general nu surjectivă. Un spațiu Banach general și bidualul său nu sunt neapărat izometric izomorfe în vreun fel, spre deosebire de cazul finit dimensional. Acest lucru este explicat în articolul despre spațiul dual.

De asemenea, noțiunea de derivată poate fi extinsă la funcții arbitrare între spațiile Banach. A se vedea, de exemplu, articolul Derivată Fréchet.

Rezultate majore și fundamentale

modificare

Există patru teoreme majore care sunt uneori numite cei patru piloni ai analizei funcționale:

Rezultatele importante ale analizei funcționale includ:

Principiul mărginirii uniforme

modificare

Principiul mărginirii uniforme, sau teorema Banach-Steinhaus, este unul dintre rezultatele fundamentale ale analizei funcționale. Împreună cu teorema Hahn-Banach și teorema aplicației deschise, este considerată una dintre pietrele de temelie ale domeniului. În forma sa de bază, acesta afirmă că pentru o familie de operatori liniari continui (și deci operatori mărginiți) al căror domeniu este un spațiu Banach, mărginirea punctuală este echivalentă cu mărginirea uniformă în norma operatorului.

Teorema a fost publicată pentru prima dată în 1927 de Stefan Banach și Hugo Steinhaus, dar a fost demonstrată independent și de Hans Hahn.

Teoremă (Principiul mărginirii uniforme) — Fie   un spațiu Banach și   un spațiu vectorial normat. Presupunem că   este o colecție de operatori liniari continui de la   la  . Dacă pentru orice   din   are loc   atunci  

Teorema spectrală

modificare

Există multe teoreme cunoscute sub numele de teorema spectrală, dar una în particular are multe aplicații în analiza funcțională.

Teorema spectrală[6] — Fie   un operator mărginit autoadjunct pe un spațiu Hilbert  . Atunci există un spațiu cu măsură   și o funcție   măsurabilă cu valori reale esențial mărginită pe   și un operator unitar   astfel încât   unde T este operatorul de înmulțire:   și  

Acesta este începutul vastei arii de cercetare a analizei funcționale numită teoria operatorilor; a se vedea și măsura spectrală.

Există, de asemenea, o teoremă spectrală analoagă pentru operatorii normali mărginiți pe spații Hilbert. Singura diferență la concluzie este că acum   poate lua valori complexe.

Teorema Hahn-Banach

modificare

Teorema Hahn-Banach este un instrument central în analiza funcțională. Aceasta permite extinderea funcționalelor liniare mărginite definite pe un subspațiu al unui spațiu vectorial la întreg spațiul și, totodată, arată că există „suficiente” funcționale liniare continue definite pe fiecare spațiu vectorial normat încât să facă studiul spațiului dual „interesant”.

Hahn–Banach theorem:[7] — Dacă   este o funcție subliniară, iar   este o funcțională liniară pe un subspațiu liniar   care este dominată de   pe  ; adică,   atunci există o extindere liniară   a lui   la întreg spațiul   care este dominată de   pe  ; adică, există o funcțională liniară   astfel încât  

Teorema aplicației deschise, cunoscută și sub denumirea de teorema Banach-Schauder (numită după Stefan Banach și Juliusz Schauder), este un rezultat fundamental care afirmă că dacă un operator liniar continuu între spații Banach este surjectiv, atunci este o aplicație deschisă. Mai exact,

Teorema aplicației deschise — Dacă   și   sunt spații Banach și   este un operator liniar continuu surjectiv, atunci   este o aplicație liniară (adică, dacă   este o mulțime deschisă în  , atunci   este deschisă în  ).

Demonstrația folosește teorema lui Baire, iar completitudinea ambelor spații   și   este esențială pentru teoremă. Afirmația teoremei nu mai este adevărată dacă unul dintre spații este presupus a fi doar un spațiu normat, dar este adevărată dacă   și   sunt considerate spații Fréchet.

Teorema graficului închis

modificare

Teorema graficului închis — Dacă   este un spațiu topologic și   este un spațiu compact Hausdorff, atunci graficul unei aplicații liniare   din   la   este închis dacă și numai dacă   este continuu.[8]

Alte subiecte

modificare

Fundamentele considerentelor matematice

modificare

Majoritatea spațiilor considerate în analiza funcțională au dimensiune infinită. Pentru a arăta existența unei baze de spațiu vectorial pentru astfel de spații poate fi necesară lema lui Zorn. Cu toate acestea, un concept oarecum diferit, baza Schauder, este de obicei mai relevant în analiza funcțională. Multe teoreme necesită teorema Hahn-Banach, de obicei demonstrată folosind axioma alegerii, deși este suficientă teorema idealului prim într-o algebră Boole, care este mai slabă. Teorema lui Baire, necesară pentru a demonstra multe teoreme importante, necesită, de asemenea, o formă a axiomei alegerii.

Puncte de vedere

modificare

Analiza funcțională include următoarele tendințe:

  1. ^ Lawvere, F. William. „Volterra's functionals and covariant cohesion of space” (PDF). acsu.buffalo.edu. Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în . 
  2. ^ Saraiva, Luís (octombrie 2004). History of Mathematical Sciences. WORLD SCIENTIFIC. p. 195. doi:10.1142/5685. ISBN 978-93-86279-16-3. 
  3. ^ Bowers, Adam; Kalton, Nigel J. (). An introductory course in functional analysis. Springer Science & Business Media. p. 1. 
  4. ^ Kadets, Vladimir (). A Course in Functional Analysis and Measure Theory [КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА]. Springer. pp. xvi. 
  5. ^ Riesz, Frigyes (). Functional analysis. Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron (ed. Dover). New York: Dover Publications. pp. 195–199. ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994. 
  6. ^ Hall, Brian C. (). Quantum Theory for Mathematicians (în engleză). Springer Science & Business Media. p. 147. ISBN 978-1-4614-7116-5. 
  7. ^ Rudin, Walter (). Functional Analysis (în engleză). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  8. ^ Munkres, James R. (). Topology (în engleză). Prentice Hall, Incorporated. p. 171. ISBN 978-0-13-181629-9. 

Lectură suplimentară

modificare
  • Aliprantis, C.D., Border, K.C.: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, ed. 3, Springer 2007, ISBN: 978-3-540-32696-0. Online doi:10.1007/3-540-29587-9 (prin abonament)
  • Bachman, G., Narici, L.: Functional analysis, Academic Press, 1966. (retipărit Dover Publications)
  • Banach S. Theory of Linear Operations Arhivat în , la Wayback Machine.. Volumul 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, ISBN: 0-444-70184-2
  • Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod ISBN: 978-2-10-004314-9 sau ISBN: 978-2-10-049336-4
  • Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN: 0-387-97245-5
  • Dunford, N. și Schwartz, J.T.: Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons, și alte 3 volume, include diagrame ilustrative
  • Edwards, R. E.: Functional Analysis, Theory and Applications, Hold, Rinehart și Winston, 1965.
  • Eidelman, Yuli, Vitali Milman și Antonis Tsolomitis: Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004.
  • Friedman, A.: Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Paperback Edition, Iulie 21, 2010
  • Giles, J.R.: Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Cambridge University Press, 2000
  • Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
  • Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, ed. 2, Elsevier Science, 2005, ISBN: 0-444-51790-1
  • Kantorovitz, S.,Introduction to Modern Analysis, Oxford University Press, 2003, ed. 2, 2006.
  • Kolmogorov, A.N și Fomin, S.V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover Publications, 1999
  • Kreyszig, E.: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989.
  • Lax, P.: Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN: 0-471-55604-1
  • Lebedev, L.P. și Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
  • Michel, Anthony N. și Charles J. Herget: Applied Algebra and Functional Analysis, Dover, 1993.
  • Pietsch, Albrecht: History of Banach spaces and linear operators, Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN: 978-0-8176-4367-6
  • Reed, M., Simon, B.: "Functional Analysis", Academic Press 1980.
  • Riesz, F. și Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis, Dover Publications, 1990
  • Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991
  • Saxe, Karen: Beginning Functional Analysis, Springer, 2001
  • Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, ed. 2, 2001
  • Shilov, Georgi E.: Elementary Functional Analysis, Dover, 1996.
  • Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
  • Vogt, D., Meise, R.: Introduction to Functional Analysis, Oxford University Press, 1997.
  • Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, ed. 6, 1980

Legături externe

modificare