Spațiu Banach

spațiu vectorial normat complet

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat complet, adică în care orice șir Cauchy este convergent.

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892-1945).

Definiție

modificare

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Noțiunea de completitudine este bazată pe cea de șir Cauchy: un șir   de elemente dintr-un spațiu liniar normat   se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi   există un indice   astfel încât   implică  

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy, dar reciproc nu este adevărat în general. Spațiile Banach sunt spațiile în care este cazul.

Definiție —  Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Exemple de spații Banach

modificare

Prin echivalența normelor în dimensiune finită, oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

Un alt exemplu important de spațiu Banach este spațiul p al șirurilor p-absolut sumabile, cu  .

Teoremă —  Fie   corp comutativ complet și fie   Fie spațiul liniar normat   al șirurilor   din   astfel încât seria   este convergentă, unde norma este definită de:

 

Atunci   este spațiu Banach.

Demonstrație

Faptul că   este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie   un șir Cauchy din spațiul   unde   și fie   Atunci există un număr natural   astfel încât   pentru orice   — adică   În particular, pentru orice  ,   dacă   de unde rezultă că șirul   este Cauchy. Prin complitudinea lui  , există   Fie atunci   Rezultă că pentru orice  

 

de unde se deduce că:

  1.   iar spațiul   fiind liniar,  
  2. Pentru orice    

În concluzie, pentru orice șir Cauchy  , există   astfel încât   — adică spațiul   este complet.

Mai general, spațiul Lp al funcțiilor p-integrabile este Banach dacă  .

Proprietăți

modificare

Teoremă —  Oricare subspațiu liniar închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație

Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul este complet.

Teoremă —  Dacă   sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs   este de asemenea un spațiu Banach.

Demonstrație

Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului  

Fie   un șir Cauchy din spațiul X, unde  

Pentru fiecare   există   astfel încât   de unde rezultă că   Atunci există   astfel încât   Deci  

Se notează   În concluzie, oricare ar fi   există   astfel încât   adică  

Teoremă (echivalența spațiilor Banach) —  Dacă normele   și   definite în spațiul liniar L sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat   este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat   este spațiu Banach.

Demonstrație

Fie   două constante alese astfel ca   Fie, în continuare,   spațiu Banach și   un șir Cauchy în   Pentru numărul   există   astfel încât pentru orice   există relația   Se obține   Prin urmare șirul   este Cauchy în   și întrucât spațiul   este complet,   este convergent în   Fie   în   adică   Însă   și deci șirul   este convergent în   În consecință, spațiul   este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele   și   se obține că dacă   este spațiu Banach atunci și   este spațiu Banach.

Serii în spații Banach

modificare

O proprietate utilă a seriilor numerice este că orice serie absolut convergentă este convergentă. Deoarece această proprietate se generalizează la spații Banach, aceștia oferă un cadru natural pentru studiul seriilor generale.

Serii convergente și absolut convergente

modificare

Fie   un spațiu liniar normat,   un șir de elemente din   și, pentru orice   Dacă există   atunci seria   se numește serie convergentă. Dacă seria numerică   este convergentă, atunci seria   se numește absolut convergentă.

Convergența absolută implică convergența

modificare

Teoremă —  Un spațiu liniar normat   este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație

Fie   un spațiu vectorial normat și fie   o serie absolut convergentă. Fie   și   șirurile sumelor parțiale. Prin inegalitatea triunghiului,  

Deci dacă   este șir Cauchy, atunci și   este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există   adică seria   este convergentă.

Reciproc, fie  un șir Cauchy în X. Atunci există un subșir   astfel încât   Rezultă că seria   este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria   este convergentă. Se notează   Deoarece:

 

rezultă că subșirul   al șirului   este convergent. Prin urmare, șirul   este convergent.

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare
  •   Materiale media legate de spațiu Banach la Wikimedia Commons
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Banach space”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
  • Eric W. Weisstein, Banach Space la MathWorld.