Teoremă .
Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach .
Demonstrație .
Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach .
Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului.
Deci subspațiul liniar închis este complet.
Teoremă .
Un spațiu liniar normat
(
X
,
‖
‖
)
{\displaystyle \left(X,\|\|\right)}
Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.
Demonstrație .
Fie X un spațiu liniar normat complet și fie
∑
n
−
1
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n-1}^{\infty }x_{n}}
s
n
=
∑
k
=
1
∞
x
k
,
σ
n
=
∑
k
=
1
∞
‖
x
k
‖
,
{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k},\;\sigma _{n}=\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|,\;}
‖
s
n
−
s
m
‖
≤
|
σ
n
−
σ
m
|
.
{\displaystyle \|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.}
Deci dacă
{
σ
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Cauchy , atunci
{
s
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Cauchy .
Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există
lim
n
→
∞
s
n
=
s
∈
X
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,}
∑
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}
Reciproc, fie
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Cauchy în
X
.
{\displaystyle X.}
{
x
k
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }}
‖
x
k
n
+
1
−
x
k
n
‖
<
1
2
n
+
1
(
n
=
1
,
2
,
3
,
⋯
)
.
{\displaystyle \|{x_{k}}_{n+1}-x_{k_{n}}\|<{\frac {1}{2^{n+1}}}\;\;(n=1,2,3,\cdots ).}
∑
n
=
1
∞
‖
x
k
n
+
1
−
x
k
n
‖
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|}
Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria
∑
n
=
1
∞
(
x
k
n
+
1
−
x
n
k
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{n_{k}}\right)}
x
=
x
k
1
+
∑
n
=
1
∞
(
x
k
n
+
1
−
x
k
n
)
.
{\displaystyle x=x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right).}
x
k
1
+
∑
n
=
1
∞
(
x
k
n
+
1
−
x
k
n
)
=
x
k
m
,
(
m
≥
2
)
,
{\displaystyle x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)=x_{k_{m}},\;\;(m\geq 2),}
rezultă că subșirul
{
x
k
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }}
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Teoremă .
Dacă
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}
Banach , atunci spațiul liniar normat produs
X
=
∏
k
=
1
n
{\displaystyle X=\prod _{k=1}^{n}}
Banach .
Demonstrație .
Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului
X
=
∏
k
=
1
n
X
k
{\displaystyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}}
Fie
{
x
m
}
m
=
1
∞
{\displaystyle \{x^{m}\}_{m=1}^{\infty }}
Cauchy din spațiul liniar normat produs
X
=
∏
k
=
1
n
X
k
,
{\displaystyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k},\;}
x
m
=
(
x
m
1
,
x
m
2
,
⋯
,
x
m
n
)
,
(
m
=
1
,
2
,
3
,
⋯
)
.
{\displaystyle x^{m}=\left(x_{m1},x_{m2},\cdots ,x_{mn}\right),\;(m=1,2,3,\cdots ).}
Pentru fiecare
ε
>
0
,
{\displaystyle \varepsilon >0,}
N
ε
{\displaystyle N_{\varepsilon }}
‖
x
i
−
x
k
‖
<
ε
,
(
j
,
k
>
N
ε
)
,
{\displaystyle \|x^{i}-x^{k}\|<\varepsilon ,\;(j,k>N_{\varepsilon }),}
‖
x
j
i
−
x
k
i
<
ε
‖
,
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
;
j
,
k
>
N
ε
)
.
{\displaystyle \|x_{ji}-x_{ki}<\varepsilon \|,\;(i=1,2,\cdots ,n;\;\;j,k>N_{\varepsilon }).}
x
i
∈
X
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
,
{\displaystyle x_{i}\in X_{i},\;i=1,2,\cdots ,n,}
x
i
=
lim
k
→
∞
x
k
i
.
{\displaystyle x_{i}=\lim _{k\to \infty }x_{ki}.}
‖
x
j
i
−
x
i
‖
≤
ε
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
;
j
>
N
ε
)
.
{\displaystyle \|x_{ji}-x_{i}\|\leq \varepsilon \;(i=1,2,\cdots ,n;\;j>N_{\varepsilon }).}
Se notează
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
.
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).}
ε
>
0
,
{\displaystyle \varepsilon >0,}
N
ε
{\displaystyle N_{\varepsilon }}
‖
x
j
−
x
‖
≤
ε
(
j
>
N
ε
)
,
{\displaystyle \|x^{j}-x\|\leq \varepsilon \;(j>N_{\varepsilon }),}
lim
m
→
∞
x
m
=
x
.
{\displaystyle \lim _{m\to \infty }x^{m}=x.}
Teoremă (echivalența spațiilor Banach ).
Dacă normele
‖
⋅
‖
′
{\displaystyle \|\cdot \|^{\prime }}
‖
⋅
‖
′
′
{\displaystyle \|\cdot \|^{\prime \prime }}
L
,
{\displaystyle L,}
(
L
,
‖
⋅
‖
′
)
{\displaystyle \left(L,\|\cdot \|^{\prime }\right)}
Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat
(
L
,
‖
⋅
‖
′
′
)
{\displaystyle \left(L,\|\cdot \|^{\prime \prime }\right)}
Banach .
Demonstrație .
Fie
c
1
>
0
,
c
2
>
0
{\displaystyle c_{1}>0,\;c_{2}>0}
‖
x
‖
′
′
≤
c
1
‖
x
‖
′
,
‖
x
‖
′
≤
c
1
‖
x
‖
′
′
(
x
∈
L
)
.
{\displaystyle \|x\|^{\prime \prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime },\;\|x\|^{\prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime \prime }\;(x\in L).}
N
1
=
(
L
,
‖
⋅
‖
′
)
{\displaystyle N_{1}=\left(L,\|\cdot \|^{\prime }\right)}
Banach și
(
x
n
)
1
∞
{\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}
N
2
=
(
L
,
‖
⋅
‖
′
′
)
.
{\displaystyle N_{2}=\left(L,\|\cdot \|^{\prime \prime }\right).}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
m
,
n
∈
N
;
m
,
n
≥
n
0
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ;\;m,n\geq n_{0}}
‖
x
n
−
x
m
‖
′
′
<
ε
c
2
.
{\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime \prime }<{\frac {\varepsilon }{c_{2}}}.}
‖
x
n
−
x
m
‖
′
<
c
2
⋅
ε
c
2
=
ε
(
n
,
m
≥
n
0
)
.
{\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime }<c_{2}\cdot {\frac {\varepsilon }{c_{2}}}=\varepsilon \;(n,m\geq n_{0}).}
(
x
n
)
1
∞
{\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}
N
1
{\displaystyle N_{1}}
N
1
{\displaystyle N_{1}}
(
x
n
)
1
∞
{\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}
N
1
.
{\displaystyle N_{1}.}
x
=
lim
n
→
∞
x
n
{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}
N
1
,
{\displaystyle N_{1},}
‖
x
n
−
x
‖
′
=
0.
{\displaystyle \|x_{n}-x\|^{\prime }=0.}
lim
n
→
∞
‖
x
n
−
x
‖
′
′
≤
lim
n
→
∞
c
1
‖
x
n
−
x
‖
′
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|^{\prime \prime }\leq \lim _{n\to \infty }c_{1}\|x_{n}-x\|^{\prime }=0}
(
x
n
)
1
∞
{\displaystyle (x_{n})_{1}^{\infty }}
N
2
.
{\displaystyle N_{2}.}
N
2
{\displaystyle N_{2}}
Banach .
Schimbând cu rolurile normele
‖
⋅
‖
′
{\displaystyle \|\cdot \|^{\prime }}
‖
⋅
‖
′
′
{\displaystyle \|\cdot \|^{\prime \prime }}
N
2
{\displaystyle N_{2}}
Banach atunci și
N
1
{\displaystyle N_{1}}
Banach .
Definiție .
Fie
(
X
,
‖
‖
)
{\displaystyle (X,\|\|)}
spațiu liniar normat ,
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
X
{\displaystyle X}
s
n
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
(
n
=
1
,
2
,
3
,
⋯
)
.
{\displaystyle s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\;\;(n=1,2,3,\cdots ).}
lim
n
→
∞
=
s
∈
X
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }=s\in X,}
∑
n
=
1
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}
serie convergentă .
Elementul
s
{\displaystyle s}
suma seriei
∑
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}
s
=
∑
n
=
1
∞
x
n
.
{\displaystyle s=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}.}
Șirul
{
s
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
șirul sumelor parțiale .divergentă .
∑
n
=
1
∞
‖
x
n
‖
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|}
∑
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}
absolut convergentă .
Pentru a determina dacă un spațiu liniar normat este complet, există următorul criteriu:
Teoremă .
Un spațiu liniar normat
(
X
,
‖
‖
)
{\displaystyle (X,\|\|)}
Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.
Demonstrație .
Fie
X
{\displaystyle X}
spațiu vectorial normat și fie
∑
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}
s
n
=
∑
n
=
1
∞
x
n
,
σ
n
=
∑
n
=
1
∞
‖
x
n
‖
,
{\displaystyle s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n},\;\;\sigma _{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|,}
‖
s
n
−
s
m
‖
≤
|
σ
n
−
σ
m
|
.
{\displaystyle \|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.}
Deci dacă
{
σ
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Cauchy , atunci
{
s
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Cauchy .
Prin urmare, spațiul liniar normat
X
{\displaystyle X}
lim
n
→
∞
s
n
=
s
∈
X
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,}
∑
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}
Reciproc, fie
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
Cauchy în
X
.
{\displaystyle X.}
{
x
k
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{k}\}_{n=1}^{\infty }}
‖
x
k
n
+
1
−
x
k
n
‖
<
1
2
n
+
1
(
n
=
1
,
2
,
3
,
⋯
)
.
{\displaystyle \|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|<{\frac {1}{2^{n+1}}}\;(n=1,2,3,\cdots ).}
1)
Oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach .
2)
Fie spațiul liniar normat
(
ℓ
m
a
t
h
b
b
K
p
,
‖
‖
p
)
,
(
p
≥
1
)
{\displaystyle \left(\ell _{mathbbK}^{p},\|\;\|_{p}\right),\;(p\geq 1)}
x
=
{
α
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle x=\{\alpha _{n}\}_{n=1}^{\infty }}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
∑
n
=
1
∞
|
α
n
|
p
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{p}}
‖
x
‖
p
=
(
∑
n
=
1
∞
|
α
n
|
p
)
1
/
p
(
x
∈
ℓ
K
p
)
.
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{p}\right)^{1/p}\;\;(x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}).}
Atunci
(
ℓ
m
a
t
h
b
b
K
p
,
‖
‖
p
)
{\displaystyle \left(\ell _{mathbbK}^{p},\|\;\|_{p}\right)}
Banach .
Demonstrație .
Faptul că
x
↦
‖
x
‖
p
{\displaystyle x\mapsto \|x\|_{p}}
inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.
Fie
{
x
n
}
n
=
1
∞
,
x
n
=
{
α
n
j
}
j
=
1
∞
(
n
=
1
,
2
,
3
,
⋯
)
,
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },\;x_{n}=\{\alpha _{nj}\}_{j=1}^{\infty }\;(n=1,2,3,\cdots ),}
șir Cauchy din spațiul
ℓ
K
p
.
{\displaystyle \ell _{\mathbb {K} }^{p}.}
ε
>
0.
{\displaystyle \varepsilon >0.}
număr natural
k
ε
{\displaystyle k_{\varepsilon }}
‖
x
n
−
x
m
‖
p
<
ε
(
n
,
m
>
k
ε
)
{\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|_{p}<\varepsilon \;(n,m>k_{\varepsilon })}
Rezultă că
∑
j
=
1
∞
|
α
n
j
−
α
m
j
|
p
<
ε
p
(
n
,
m
>
k
ϵ
)
;
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|^{p}<\varepsilon ^{p}\;\;(n,m>k_{\epsilon });}
în particular,
|
α
n
j
−
α
m
j
|
<
ε
(
n
,
m
>
k
ε
,
j
=
1
,
2
,
3
⋯
)
.
{\displaystyle |\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|<\varepsilon \;(n,m>k_{\varepsilon },j=1,2,3\cdots ).}
Fie
x
=
(
α
j
)
j
≥
1
.
{\displaystyle x=\left(\alpha _{j}\right)_{j\geq 1}.}
∑
j
=
1
∞
|
α
n
j
−
α
j
|
p
<
ε
p
(
n
>
k
ε
)
,
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{j}|^{p}<\varepsilon ^{p}\;(n>k_{\varepsilon }),}
x
n
−
X
∈
ℓ
K
p
(
n
>
k
ε
)
.
{\displaystyle x_{n}-X\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}\;(n>k_{\varepsilon }).}
x
∈
ℓ
K
p
.
{\displaystyle x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}.}
În concluzie, pentru orice
ε
>
0
,
{\displaystyle \varepsilon >0,}
k
ε
{\displaystyle k_{\varepsilon }}
‖
x
n
−
x
‖
p
<
ε
(
n
>
k
ε
)
,
{\displaystyle \|x_{n}-x\|_{p}<\varepsilon \;(n>k_{\varepsilon }),}
x
=
lim
n
→
∞
x
n
.
{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}
