Deschide meniul principal
Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892 - 1945).

DefinițieModificare

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Un șir   de elemente dintr-un spațiu liniar normat   se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi   există un indice   astfel încât   implică  

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy; reciproc nu este adevărat.

Definiție: Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Observație: Proprietatea de completitudine se menține pentru submulțimile închise.

ProprietățiModificare

Teoremă. Oricare subspațiu închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație. Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul liniar este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul liniar închis este complet.

Teoremă. Un spațiu liniar normat   este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie X un spațiu liniar normat complet și fie   o serie absolut convergentă. Dacă    atunci  

Deci dacă   este șir Cauchy, atunci   este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există    adică seria   este convergentă.

Reciproc, fie  un șir Cauchy în   Atunci există un subșir   astfel încât    Rezultă că seria   este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria   este convergentă. Se notează   Deoarece:

 

rezultă că subșirul   al șirului   este convergent. Prin urmare, șirul   este convergent.

Teoremă. Dacă   sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs   este de asemenea un spațiu Banach.

Demonstrație. Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului  

Fie   un șir Cauchy din spațiul liniar normat produs   unde  

Pentru fiecare   există   astfel încât   de unde rezultă că   Atunci există   astfel încât   Deci  

Se notează   În concluzie, oricare ar fi   există   astfel încât   adică  

Teoremă (echivalența spațiilor Banach). Dacă normele   și  , definite în spațiul liniar   sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat   este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat   este spațiu Banach.

Demonstrație. Fie   două constante alese astfel ca   Fie, în continuare,   spațiu Banach și   un șir fundamental în   Pentru numărul   există   astfel încât pentru orice   există relația   Se obține   Prin urmare șirul   este fundamental în   și întrucât spațiul   este complet,   este convergent în   Fie   în   adică   Însă   și deci șirul   este convergent în   În consecință, spațiul   este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele   și   se obține că dacă   este spațiu Banach atunci și   este spațiu Banach.

Serii în spații BanachModificare

Definiție. Fie   un spațiu liniar normat,   un șir de elemente din   și   Dacă există   atunci seria   se numește serie convergentă. Elementul   este suma seriei   și se notează  

Șirul   se numește șirul sumelor parțiale.
Dacă șirul sumelor parțiale nu este convergent, atunci seria se numește divergentă.
Dacă seria   este convergentă, atunci seria   se numește absolut convergentă.

Pentru a determina dacă un spațiu liniar normat este complet, există următorul criteriu:

Teoremă. Un spațiu liniar normat   este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație. Fie   un spațiu vectorial normat și fie   o serie absolut convergentă. Dacă   atunci  

Deci dacă   este șir Cauchy, atunci   este șir Cauchy.

Prin urmare, spațiul liniar normat   fiind complet, există   adică seria   este convergentă.

Reciproc, fie   un șir Cauchy în   Atunci există un subșir   astfel încât  

Exemple de spații BanachModificare

1) Oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

2) Fie spațiul liniar normat   al șirurilor   din   astfel încât seria   este convergentă, unde norma este definită de:

 

Atunci   este spațiu Banach.

Demonstrație. Faptul că   este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie   un șir Cauchy din spațiul   Fie   Atunci există un număr natural   astfel încât  

Rezultă că  

în particular,  

Fie   Se deduce că   de unde rezultă că   Astfel există relația:  

În concluzie, pentru orice   există  , astfel încât   adică  

Vezi șiModificare