Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.
Într-un triunghi ABC, suma lungimilor laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB.
Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.
Într-un plan euclidian, în orice triunghi ABC lungimile AB , AC și CB verifică inegalitatea :
A
B
⩽
A
C
+
C
B
{\displaystyle AB\leqslant AC+CB}
Două proprietăți completează această inegalitate:
|
A
C
−
C
B
|
⩽
A
B
{\displaystyle |AC-CB|\leqslant AB}
A
B
=
A
C
+
C
B
⇔
C
∈
[
A
B
]
{\displaystyle AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]}
Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:
x
=
afixul lui
A
C
→
{\displaystyle x={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {AC}}}
y
=
afixul lui
C
B
→
{\displaystyle y={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {CB}}}
Obținem această formulare echivalentă:
Pentru
(
x
,
y
)
∈
C
2
{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}
, avem :
|
|
x
|
−
|
y
|
|
⩽
|
x
+
y
|
⩽
|
x
|
+
|
y
|
{\displaystyle {\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leqslant |x+y|\leqslant |x|+|y|}
|
x
+
y
|
=
|
x
|
+
|
y
|
⟺
∃
(
λ
,
μ
)
∈
R
+
2
−
{
(
0
,
0
)
}
,
λ
x
=
μ
y
{\displaystyle |x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}-\{(0,0)\},\ \lambda x=\mu y}
Fie mulțimea E și
d
:
E
×
E
→
R
{\displaystyle d:E\times E\rightarrow \mathbb {R} }
.
Spunem că d este o distanță pe E dacă:
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)}
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
d
(
x
,
y
)
=
0
⟺
x
=
y
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
d
(
x
,
z
)
⩽
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
{\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}