Deschide meniul principal

În matematică, o secvență sau un șir Cauchy este o secvență în care elementele componente se apropie pe măsură ce aceasta avansează într-o direcție, pe axa numerelor reale. Cu alte cuvinte, pentru orice număr pozitiv dat, se poate renunța la termenii de la începutul șirului, astfel încât, orice diferență între oricare doi termeni consecutivi, dintre cei rămași, să fie mai mică decât numărul ales.

Utilitatea în contextul analizei matematiceModificare

Utilitatea acestor șiruri rezidă din faptul că un spațiu metric complet are la bază existența acestor șiruri care converg către o limită. Convergența șirurilor este o proprietate foarte folosită în domeniile proceselor iterative, a căror algoritmi de rezolvare necesită o limitare în timp. De aceea, în foarte multe domenii ale fizicii matematice se lucrează în termeni de topologie, prin adoptarea foarte frecvent a spațiilor metrice complete.

Șiruri Cauchy în spații metriceModificare

Într-un spațiu metric, un șir fundamental, numit și șir Cauchy este un șir   de elemente , având proprietatea că, pentru orice  , există un rang   astfel încât   cu   și  , are loc  , unde   este funcția distanță.

Un șir convergent este întotdeauna șir Cauchy. Spațiile metrice complete sunt, prin definiție, acele spații metrice în care este adevărată și reciproca (orice șir Cauchy este convergent).

Exemple de șiruri CauchyModificare

1. Cel mai întâlnit exemplu de șir Cauchy este modul de construcție a unui număr real, prin utilizarea secvențelor de numere raționale. Dacă avem un număr, să zicem cifra 0 și o secvență Cauchy care stă la baza acestui număr(să zicem șirul 1/n), atunci avem o secvență de numere raționale, iar completitudinea spatiului este realizată. Conform proprietății în care, un spațiu metric complet admite numai șiruri Cauchy, atunci orice secvență de numere raționale este un șir Cauchy în domeniul real. În schimb dacă secvența de numere raționale se consideră doar în domeniul numerelor raționale, există posibilitatea ca nu orice secvență să fie Cauchy, tocmai datorită faptului că mulțimea numerelor raționale nu este un spațiu metric complet.

Șirurile Cauchy sunt una din metodele de construcție a mulțimii numerelor reale din mulțimea numerelor raționale. De aici numele lor de șiruri fundamentale.

2. Un alt exemplu îl constituie șirul cu termenul general:

 

În acest caz:

 

pentru    

Se poate demonstra că limita acestui șir este numărul e.

ContraexempluModificare

Se poate demonstra că șirul:

 

este divergent.

Pentru aceasta este suficient să se arate că există un   și un   astfel încât   

Într-adevăr, pentru  

 

Cazul șirurilor de funcțiiModificare

Definiție. Fie   un șir de funcții,   Se spune că șirul   este punctual convergent pe   către f pentru   și se scrie   dacă   (în  ) pentru  

Definiție. Un șir   de funcții   se numește uniform convergent pe   către o funcție   și se scrie    dacă este îndeplinită următoarea condiție:

  natural astfel încât   să existe relația   pentru  

Teoremă (Criteriul fundamental de convergență uniformă al lui Cauchy) Șirul de funcții   converge uniform pe mulțimea   astfel încât