În matematică, mai precis în analiză funcțională, spațiile Lp — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții. Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții p-integrabile, iar norma, numită norma p, se definește analog cu norma p din .

Spațiile Lp, în special spațiul Hilbert L2, joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii (studiul ecuațiilor diferențiale, teoria probabilităților, etc) și în aplicațiile lor (fizică, inginerie, economie, procesarea semnalelor, etc).

Spațiile și ,

modificare

Fie   o mulțime deschisă din   și   un corp. Notăm cu   tribul borelian al părților boreliene din  , iar   este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din   la  , atunci prin definiție   este  . Vom considera pe spațiul   norma

 

care induce metrica   și față de care   este un spațiu complet. Prin   vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în  , care sunt p-sumabile pe orice compact din  . Elementele din   le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că   este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor.   devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme  , unde K parcurge compactele din   și

 

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune   cu compacte a lui  , sistemul   de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe  . De aici rezultă că   este metrizabil. Dacă   și   este un compact oarecare în  , din relația

 

rezultă că   pentru orice  .
Punem în evidență organizarea lui   ca algebră Banach.


TEOREMA 1. Fie  . Atunci pentru orice  , funcția   este în  . Convoluția   definită prin:

 

este de asemenea o funcție din   și în plus

 

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire,   devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă  , integrala iterată

 

este evident egală cu  . Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular   este sumabilă ca funcție de  , integrala sa este măsurabilă ca funcție de   și are integrala finită. Rezultă că   este absolut sumabilă și

 

ceea ce înseamnă   Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

 
 
 
 

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară:   Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu  , cât și prin raport cu   Cu aceasta   devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie   și   Atunci   este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice  ,   și

 

Demonstrație. Pentru   rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci   și   ca de obicei conjugatul lui  . Din inegalitatea lui Hölder avem:

 

de unde, cum   cu teorema precendentă deducem că   este definită și finită pentru orice   și de asemenea rezultă că

 

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem

 

de unde cu   obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile   și   sunt liniare și continue de la   respectiv   la  . În acest fel cu convoluția ca operație externă,   se organizează ca modul Banach peste algebra Banach  

D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009

Legături externe

modificare