Relație de echivalență

O relație de echivalență este o relație binară $\equiv$ pe o mulțime A, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

1. Reflexivitate: $\forall x\in A\,,\ x\equiv x.$.
2. Simetrie: $x\equiv y\implies y\equiv x.$
3. Tranzitivitate: ($x\equiv y$ și $y\equiv z)\implies x\equiv z.$

O relație de echivalență partiționează mulțimea A pe care este definită în clase de echivalență: două elemente $x,y\in A$ sunt în aceeași clasă de echivalență dacă și numai dacă $x\equiv y$. Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea A. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată, și se notează $A/\!\equiv$.

Exemple

• Congruența modulo n induce relația de echivalență pe mulțimea numerelor întregi $\mathbb {Z}$ următoare:

$x\equiv y\iff x=y\mod n,$

adică dacă $x-y$ are rest 0 la împărțirea cu n. Mulțimea cât se notează de obicei cu $\mathbb {Z} /{n\mathbb {Z} }$

$\mathbb {Z} /{n\mathbb {Z} }={\big \{}[0],[1],\ldots ,[n-1]{\big \}},$

unde clasa de echivalență [k] este mulțimea

$[k]=\{\ldots ,k-2n,\,k-n,\,k,\,k+n,\,k+2n,\ldots \}.$

• Dacă G este un graf, relația de adiacență $\sim$ definită prin $v\sim u\iff$ „există o muchie între $v$ și $u$” este o relație de echivalență.
• Relația $\rho$ definită pe mulțimea numerelor complexe $\mathbb {\mathbb {C} }$ prin $z_{1}\;\rho \;z_{2}\iff |z_{1}|=|z_{2}|$ este o relație de echivalență. În planul complex, clasele de echivalență ale acestei relație sunt cercuri cu centrul în origine: clasa de echivalență lui z este cercul $C(0,|z|)=\{w\in \mathbb {C} :w=|z|e^{i\pi \theta },\theta \in \mathbb {R} \}$.
• Relația de congruența geometrică este o relație de echivalență pe mulțimea tuturor figurilor geometrice.

Vezi și

• Produs cartezian