Produs cartezian

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Noțiuni introductiveModificare

Perechi ordonateModificare

Fie   și   două mulțimi nevide. Dacă  , iar  , atunci mulțimea   se numește pereche ordonată.

Perechea ordonată   se notează cu  .În acest caz   se numește abscisa perechii ordonate  , iar   se numește ordonata perechii ordonate  .

TeoremăModificare

Fie   și   două mulțimi nevide. Dacă  , iar  , atunci   dacă și numai dacă   și  .

DefinițieModificare

Fie   și   două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea   și mulțimea  , mulțimea

 . Dacă   atunci condiția   este falsă, deci  . Analog,   și în particular  .

Produsul cartezian   se notează  .

Produsul cartezian este necomutativ, adică  , cu excepția cazurilor:   sau   sau  .

ProprietățiModificare

Pentru orice mulțimi   sunt adevărate următoarele afirmații privind produsele carteziene:

  • Dacă   și , atunci  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • Intersecția produselor carteziene
  •  ;
  • Diferența produselor carteziene
  •  ;
  •  ;

Dacă  , iar  , atunci:

 .

BibliografieModificare

  • Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
  • Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.