Produs cartezian
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.
Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.
Noțiuni introductiveModificare
Perechi ordonateModificare
Fie și două mulțimi nevide. Dacă , iar , atunci mulțimea se numește pereche ordonată.
Perechea ordonată se notează cu .În acest caz se numește abscisa perechii ordonate , iar se numește ordonata perechii ordonate .
TeoremăModificare
Fie și două mulțimi nevide. Dacă , iar , atunci dacă și numai dacă și .
DefinițieModificare
Fie și două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea și mulțimea , mulțimea
. Dacă atunci condiția este falsă, deci . Analog, și în particular .
Produsul cartezian se notează .
Produsul cartezian este necomutativ, adică , cu excepția cazurilor: sau sau .
ProprietățiModificare
Pentru orice mulțimi sunt adevărate următoarele afirmații privind produsele carteziene:
- Dacă și , atunci ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- Intersecția produselor carteziene
- ;
- Diferența produselor carteziene
- ;
- ;
Dacă , iar , atunci:
.
BibliografieModificare
- Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
- Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.