Produs cartezian
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.
Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.
Noțiune prealabilă: perechi ordonate Modificare
Fie și două mulțimi nevide. Dacă iar atunci mulțimea se numește pereche ordonată și se notează cu
Perechile ordonate au proprietatea caractecteristică următoare: dacă iar atunci dacă și numai dacă și
Definiția produsului cartezian Modificare
Fie și două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea și mulțimea mulțimea
Fie mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există niciun deci . Analog, și în particular .
Produsul cartezian se notează și
Proprietăți algebrice Modificare
Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:
- Este necomutativ, adică (cu excepția cazurilor sau sau ).
- Conservă proprietatea de incluziune: dacă și , atunci
- Este distributiv față de reuniune ( ), intersecție ( ) și diferență ( ):
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Cardinal Modificare
Pentru orice mulțimi finite și cardinali mulțimilor , și — adică numere lor respective de elemente — verifică:
De fapt, această ecuație este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția că înmulțirea a fost definită pentru numerele cardinale.
Generalizare la n mulțimi Modificare
Bibliografie Modificare
- Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
- Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.