Spațiu funcțional

În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.

În algebra liniară

Adunarea funcțiilor: Suma funcției sinus cu exponențiala este

{\textstyle sin+exp:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }

cu

{\textstyle (sin+exp)(x)=sin(x)+exp(x)}

Fie $V$ un spatiu vectorial peste un corp $F$ și fie $X$ o mulțime. Funcțiile definite pe $X$ cu valori în $V$ pot primi structura de spațiu vectorial peste $F$ unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice $f, g : X \to V$ , orice $x$ din $X$ și orice $c$ din $F$ , se definește

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)

Atunci când domeniul $X$ are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau subspațiul^⁠(d)) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă $X$ este și spațiu vectorial peste $F$ , mulțimea aplicațiilor liniare $X \to V$ formează un spațiu vectorial peste $F$ cu operații pe puncte (adesea notate Hom( $X, V$ )). Un astfel de spațiu este spațiul dual^⁠(d) al lui V: mulțimea formelor lineare^⁠(d) $V \to F$ cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.

Exemple

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau Y ^X.
- Ca un caz special, mulțimea părților^⁠(d) unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2^X.
Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu ${\textstyle X\leftrightarrow Y}$ . Notatia factorial $X!$ poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi $X$ .
În analiza funcțională se observă aceleași lucru pentru transformări liniare continue, incluzând topologii pe spațiile vectoriale^⁠(d), iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care au o topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile Hilbert și spațiile Banach.
În analiza funcțională mulțimea tuturor funcțiilor definite pe numerele naturale cu valori într-o anumită mulțime X se numesc spațiu de șir^⁠(d). Se compune din mulțimea tuturor șirurilor posibile ale elementelor lui X.
În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologic X cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este topologia compactă deschisă^⁠(d), cum ar fi spațiul buclă^⁠(d). Există și topologia produsului^⁠(d) pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) Y^X. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale.
În topologia algebrică, studiul teoriei homotopiei^⁠(d) este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
În teoria proceselor stohastice, problema tehnică de bază este cum să se construiască o măsură de probabilitate^⁠(d) pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcții de timp);
În teoria categoriilor, spațiul funcțional se numește obiect exponențial^⁠(d) sau obiect de aplicații^⁠(d). Apare într-un fel ca reprezentare a bifunctorului canonic^⁠(d); dar și ca functor (simplu), de tip [ X , -], apare ca functor adjunct^⁠(d) al unui functor de tip (-×X) pe obiecte;
În programarea funcțională și calculul lambda^⁠(d), tipurile funcțiilor^⁠(d) sunt folosite pentru a exprima ideea de funcțională^⁠(d).
În teoria domeniilor^⁠(d), ideea de bază este de a găsi construcții din ordini parțiale^⁠(d) care pot să modeleze calculul lambda, creând o categorie carteziană închisă^⁠(d) cu comportament favorabil.
În teoria reprezentării grupurilor finite^⁠(d), date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită reprezentarea Hom^⁠(d). ^[1]

Analiza funcțională

Analiza funcțională este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca spații vectoriale topologice^⁠(d) la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.

Spațiul Schwartz^⁠(d) de funcții indefinit derivabile rapid descrescătoare și distribuțiile lor temperate^⁠(d) duale
Spațiul Lp
${\textstyle C(\mathbf {R} )}$ $C(\mathbf {R} )$ funcții continue înzestrate cu topologia normei uniforme
$C_{C}(\mathbf {R} )$ funcții continue pe suport compact^⁠(d)
$B(\mathbf {R} )$ ${\textstyle B(\mathbf {R} )}$ funcții mărginite
${\textstyle C_{0}(\mathbf {R} )}$ funcții continue care dispar la infinit
${\textstyle C^{r}(\mathbf {R} )}$ funcții continue cu primele $r$ derivate continue.
${\textstyle C^{\infty }(\mathbf {R} )}$ funcții indefinit derivabile
$C_{C}^{\infty }(\mathbf {R} )$ funcții indefinit derivabile cu suport compact^⁠(d)
${\textstyle D(\mathbf {R} )}$ suport compact pe topologia marginii
${\textstyle W^{k,p}}$ spațiu Sobolev^⁠(d)
${\textstyle {\mathcal {O}}_{U}}$ funcții olomorfe
funcții liniare
funcții liniare pe porțiuni
funcții continue, topologie compactă deschisă
toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale
spațiul Hardy^⁠(d)
spațiul Hölder^⁠(d)
funcțiile càdlàg function^⁠(d), cunoscute și sub numele de spațiul Skorohod^⁠(d)

Normă

Dacă $y$ este un element al spațiului funcțional ${\mathcal {C}}(a,b)$ al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma $\|y\|_{\infty }$ definită pe ${\mathcal {C}}(a,b)$ este valoarea absolută maximă a lui $y (x)$ pentru $a \leq x \leq b$ , ^[2]

\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{unde}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)\,.

Note

^ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course (în engleză). Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958.
^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A., ed. Calculus of variations (ed. Unabridged repr.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.

Bibliografie

Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații.
Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.

Portal matematică

[1] Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course (în engleză). Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958.

[GelfandFominP6-2] Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A., ed. Calculus of variations (ed. Unabridged repr.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.

[1]

[2]