În matematică calificativul punctual este folosit pentru a indica că o anumită proprietate este definită prin fiecare valoare a unei funcții O clasă importantă de concepte punctuale sunt operațiile punctuale, adică operațiile definite pe funcții prin valorile funcției obținute prin aplicarea operațiilor funcției separat pentru fiecare punct din domeniul de definiție. Relații importante pot fi definite și punctual.

Operații punctuale

modificare
 
Suma punctuală (graficul de sus, violet) și produsul (verde) al funcțiilor sin (graficul de jos, albastru) și ln (roșu). Dreapta verticală albă arată valorile în punctul  

Definiție formală

modificare

O operație binară o: Y × YY pe o mulțime Y poate fi definită punctual prin operația O: (XY) × (XY) → (XY) pe mulțimea XY a tuturor funcțiilor din X pe Y după cum ormează: fiind date două funcții f1: XY și f2: XY, se definește funcția   prin

  pentru orice x ∈ X.

De obicei, o și O sunt notate cu același simbol. O definiție similară este folosită pentru operațiile unare o și pentru operațiile cu altă aritate.

 

unde  .

Un exemplu de operație pe funcții care este nu este punctuală este convoluția.

Proprietăți

modificare

Operațiile punctuale moștenesc proprietăți precum asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea din operațiile corespunzătoare pe codomeniu. Dacă   este o structură algebrică, mulțimea tuturor funcțiilor   pe domeniul lui   poate fi transformată în mod analog într-o structură algebrică de același tip.

Operații punctuale pe componente

modificare

Operațiile pe componente sunt de obicei definite pe vectori, unde vectorii sunt elemente ale mulțimii   pentru un număr natural   și un corp  . Dacă se notează a  -a componentă a oricărui vector   cu  , atunci adunarea pe componente este  .

Operațiile pe componente pot fi definite pe matrici. Adunarea matricilor, unde   este o operație pe componente în timp ce înmulțirea matricilor nu este.

Un tuplu poate fi privit ca o funcție, iar un vector este un tuplu. Prin urmare, orice vector   corespunde funcției   astfel încât   și orice operație pe componente pe vectori este o operație punctuală pe funcțiile corespunzătoare acelor vectori.

Relații punctuale

modificare

În teoria ordinii⁠(d) se obișnuiește să se definească o ordine parțială⁠(d) punctuală pe funcții. Cu A, B mulțimi parțial ordonate⁠(d), mulțimea funcțiilor AB poate fi ordonată după fg dacă și numai dacă (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x). Ordonările punctuale moștenesc unele proprietăți ale mulțimilor parțial ordonate subiacente. De exemplu, dacă A și B sunt mulțimi parțial ordonate continue, atunci la fel este și mulțimea funcțiilor AB ordonate punctual.[1] Folosind ordonarea punctuală pe funcții se pot defini concis și alte noțiuni importante.[2] De exemplu, un operator de închidere⁠(d) c pe o mulțime parțial ordonată P este o aplicație monotonă și autoidempotentă⁠(d) pe P cu proprietatea suplimentară că idAc, unde id este funcția de identitate.

Similar, un operator de proiecție k este numit operator kernel dacă și numai dacă k ≤ idA.

Un exemplu de relație punctual infinită este convergența punctuală a funcțiilor

 

cu

 

care converge punctual spre funcția   dacă pentru orice  

 
  1. ^ Gierz et al., p. xxxiii
  2. ^ Gierz, et al., p. 26

Bibliografie

modificare
  • en T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN: 1-85233-905-5.
  • en G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

Acest articol cuprinde material de la Pointwise de la PlanetMath, licențiat cu Creative Commons Atribuire/Distribuire în condiții identice.