În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o variație mică a argumentului în jurul punctului dat produce o variație mică a valorii funcției și, mai mult, putem limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Cuprins

Continuitate într-un spațiu metricModificare

Dacă  , unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu,  ), funcția f se numește continuă în punctul   dacă pentru orice valoare   există un   astfel încât  , să aibă loc  , unde   reprezintă distanța din spațiul metric X, iar   reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare   dacă   (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu putem vorbi de continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

 

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

 

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Continuitatea funcțiilor realeModificare

Definiția 1. Fief o funcție definită pe   și   Se spune că funcția f este continuă în punctul   dacă pentru orice   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   se respectă relația:    

Definiția 2 Se spune că funcția   este continuă în punctul   dacă pentru orice șir   convergent către   șirul valorilor funcției   converge către  

Definiția 3. Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului   este continuă în   dacă f are limita în punctul   și dacă această limită este egală cu  

Vezi șiModificare

BibliografieModificare

  • Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.