Limită a unei funcții

În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.

Limita unei funcții într-un punctModificare

Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.

Considerând o funcție   se analizează comportamentul lui   atunci când x se apropie de o valoare reală fixată xo. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de xo. Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma   unde  

Definiție („definiția cu ε și δ”): Funcția f are limita l în punctul xo dacă pentru orice   există un număr   astfel ca   și  

Faptul că funcția f are limita l în punctul xo se notează:

  sau  

Definiție („definiția cu șiruri”): Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul   dacă pentru orice șir   convergent către   șirul valorilor funcției   este convergent către l.

Cazuri limităModificare

Pentru cazul când unul sau amândouă numerele xo și l nu sunt finite, există următoarele definiții:     înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

    înseamnă: pentru orice   există un   astfel încât oricare ar fi   cu proprietatea   să avem  

Limite laterale ale unei funcțiiModificare

Definiție: Se spune că funcția   are în punctul   (punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga  , dacă pentru orice vecinătate U a lui   există o vecinătate V a lui  , astfel încât, oricare ar fi   să avem  

Se notează:

 

În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:

 

ProprietățiModificare

Teorema 1. Fie   o funcție și   un punct de acumulare al lui E. Dacă   atunci  

Teorema 2. (Criteriul majorării) Dacă f și g sunt definite pe E, dacă   și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui  , astfel încât să fie valabilă inegalitatea   pentru orice   atunci  

Limita unei funcții compuseModificare

Fie funcțiile   și funcția compusă:

 

pentru   Fie   un punct de acumulare al lui E și   un punct de acumulare al lui F.

Teoremă. Dacă   și dacă   atunci funcția compusă   are limită în   și

 

BibliografieModificare

  • Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975

Vezi șiModificare