Limită a unui șir
Conținutul paginii Șir convergent ar trebui să fie inclus aici. |
Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.
n | n sin(1/n) |
---|---|
1 | 0.841471 |
2 | 0.958851 |
... | |
10 | 0.998334 |
... | |
100 | 0.999983 |
Istoric
modificareConceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.
Definiție
modificare- Pentru un șir de numere reale
- Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
- dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xn−L| < ε.
- Pentru un șir de puncte într-un spațiu metric M, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):
- Un element este numit limita șirului și se notează:
- dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(xn,L) < ε.
Exemple
modificare- Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
- Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
- Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.
De asemenea:
Cazul șirurilor de funcții
modificareDefiniție. Fie un șir de funcții, Se spune că șirul este punctual convergent pe către f pentru și se scrie dacă (în ) pentru
Definiție. Un șir de funcții se numește uniform convergent pe către o funcție și se scrie dacă este îndeplinită următoarea condiție:
- natural astfel încât să existe relația pentru
Teoremă.
- (a) Un șir de funcții mărginite, (adică: ) este uniform convergent către o funcție dacă și numai dacă
- (b) Orice șir de funcții uniform convergent pe este punctual convergent pe reciproca este falsă.
Exemplu
modificareFie și Evident
adică unde:
Dar deci Așadar, șirul este dar nu este pe
Vezi și
modificareLegături externe
modificare- en Exemple de șiruri Arhivat în , la Wayback Machine.
- en A history of the calculus Arhivat în , la Wayback Machine.