Limită a unui șir

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Istoric

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție

• Pentru un șir de numere reale $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$

Un număr real L se numește limita șirului x_n, notându-se sub forma:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |x_n−L| < ε.

• Pentru un șir de puncte $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ într-un spațiu metric M, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):

Un element $L\in M$ este numit limita șirului și se notează:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(x_n,L) < ε.

Exemple

• Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
• Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
• Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul aⁿ are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a^1/n are limita 1.

De asemenea:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{, dacă }}p>0$

$\lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{, dacă }}|a|<1$

$\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1$

$\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{, dacă }}a>0$

Cazul șirurilor de funcții

Articole principale: Convergență punctuală și Convergență uniformă.

Definiție. Fie $(f_{n})_{n}$ un șir de funcții, $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .$ Se spune că șirul $(f_{n})_{n}$ este punctual convergent pe $[a,b]$ către f pentru $n\to \infty$ și se scrie $f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f$ dacă $f_{n}(x_{0})\to f(x_{0})$ (în $\mathbb {R}$) pentru $\forall x\in [a,b].$

Definiție. Un șir $(f_{n})_{n}$ de funcții $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .$ se numește uniform convergent pe $[a,b]$ către o funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R} .$ și se scrie $f_{n}{\overset {UC}{\longrightarrow }}f$  dacă este îndeplinită următoarea condiție:

$\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )$ natural astfel încât $\forall n\geq N(\varepsilon )$ să existe relația $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ,$ pentru $\forall x\in [a,b].$

Teoremă.

(a) Un șir $(f_{n})_{n}$ de funcții mărginite, $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ (adică: $f_{n}\in {\mathcal {M}},\;\forall n\geq 0$) este uniform convergent către o funcție $f\in {\mathcal {M}}$ dacă și numai dacă $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=0.$

(b) Orice șir de funcții $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ uniform convergent pe $[a,b]$ este punctual convergent pe $[a,b];$ reciproca este falsă.

Exemplu

Fie $[a,b]=[0,1]$ și $f_{n}(x)=x^{n},\;n\geq 1.$ Evident $\forall x\in [a,b]:$

$\lim _{n\to \infty }={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}$

adică $f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f,$ unde:

$f(x)={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}$

Dar $\|f_{n}-f\|=\sup _{x\in [0,1)}|f_{n}(x)-f(x)|=\max(\sup _{x\in [0,1)}f_{n}(x)-f(x),\;f_{n}(1)-f(1)|)=\max(\sup _{x\in [0,1)}x^{n},0)=1,\;$ deci $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=1\neq 0.$ Așadar, șirul $f_{n}$ este $PC,$ dar nu este $UC$ pe $[0,1).$

Vezi și

• Șir convergent
• Limită a unei funcții
• Funcție exponențială
• Dobândă

Legături externe

• en Exemple de șiruri Arhivat în 15 decembrie 2010, la Wayback Machine.
• en A history of the calculus Arhivat în 5 septembrie 2004, la Wayback Machine.