Deschide meniul principal
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

IstoricModificare

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

DefinițieModificare

  • Pentru un șir de numere reale  
Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
 
dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xnL| < ε.
Un element   este numit limita șirului și scriem:
 
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, avem d(xn,L) < ε.

ExempleModificare

  • Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
  • Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
  • Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.

De asemenea:

 

 
 
 

Cazul șirurilor de funcțiiModificare

Definiție. Fie   un șir de funcții,   Se spune că șirul   este punctual convergent pe   către f pentru   și se scrie   dacă   (în  ) pentru  

Definiție. Un șir   de funcții   se numește uniform convergent pe   către o funcție   și se scrie    dacă este îndeplinită următoarea condiție:

  natural astfel încât   să existe relația   pentru  

Teoremă.

(a) Un șir   de funcții mărginite,   (adică:  ) este uniform convergent către o funcție   dacă și numai dacă  
(b) Orice șir de funcții   uniform convergent pe   este punctual convergent pe   reciproca este falsă.

ExempluModificare

Fie   și   Evident  

 

adică   unde:

 

Dar   deci   Așadar, șirul   este   dar nu este   pe  

Vezi șiModificare

Legături externeModificare