Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Istoric modificare

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție modificare

  • Pentru un șir de numere reale  
Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
 
dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xnL| < ε.
Un element   este numit limita șirului și se notează:
 
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(xn,L) < ε.

Exemple modificare

  • Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
  • Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
  • Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.

De asemenea:

 

 
 
 

Cazul șirurilor de funcții modificare

Definiție. Fie   un șir de funcții,   Se spune că șirul   este punctual convergent pe   către f pentru   și se scrie   dacă   (în  ) pentru  

Definiție. Un șir   de funcții   se numește uniform convergent pe   către o funcție   și se scrie    dacă este îndeplinită următoarea condiție:

  natural astfel încât   să existe relația   pentru  

Teoremă.

(a) Un șir   de funcții mărginite,   (adică:  ) este uniform convergent către o funcție   dacă și numai dacă  
(b) Orice șir de funcții   uniform convergent pe   este punctual convergent pe   reciproca este falsă.

Exemplu modificare

Fie   și   Evident  

 

adică   unde:

 

Dar   deci   Așadar, șirul   este   dar nu este   pe  

Vezi și modificare

Legături externe modificare