Caracteristică (algebră)

În teoria algebrică a inelelor și a corpurilor, caracteristica este un număr caracteristic unui inel sau corp care arată de câte ori trebuie adunat elementul neutru multiplicativ pentru a se obține elementul neutru aditiv. Dacă acest lucru nu este posibil, se va considera că această caracteristică are valoarea zero.

Caracteristica unui inelModificare

Se consideră un inel unitar nenul notat    . Dacă elementul 1 are ordinul infinit în grupul     se spune că A este un inel de caracteristică 0 și se scrie     Deci:

   

Dacă ordinul lui 1 în grupul     este p, se spune că inelul A are caracteristică p și se scrie     Acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că    

De exemplu, inelul întregilor este un inel de caracteristică 0, pe când     este inel de caracteristică 3.

Observație. Dacă inelul     este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.

Într-adevăr, dacă p nu ar fi prim, atunci de poate scrie     cu     numere naturale mai mici decât p și diferite de 1 și p. Cum     iar     obținem că     și cum A este domeniu de integritate, se deduce că     sau     contradicând minimalitatea lui p cu proprietatea că   

Caracteristica unui corpModificare

Caracteristica unui corp   este zero dacă acest corp conține un corp izomorf cu corpul   al numerelor raționale, iar în caz contrar este numărul prim] p, pentru care:

 

unde e este elementul neutru pentru operația de înmulțire din  

Caracteristica unui corp   se determină astfel: se consideră omomorfismul de inele   definit prin:

  deci   și
 

și nucleul său, care fiind un subgrup în   are forma   cu p întreg pozitiv. Dacă   atunci   deci   are caracteristica zero. Dacă   atunci p este un număr prim și caracteristica lui   este p.